Considere os seguintes vetores u=(1,2,3),v=(0,-2,1)w=(2,2,7)e o=(3,0,1) R3. Análise as seguintes afirmações: l- o conjunto {u,v,w)é LD. ll-w é combinação linear de u e v... .....
Soluções para a tarefa
Vamos analisar as duas afirmativas:
I. Se u = (1,2,3), v = (0,-2,1) e w = (2,2,7) formam um conjunto de vetores Linearmente Dependentes, então o determinante entre eles é igual a 0.
Sendo assim, vamos calcular o seguinte determinante:
|1 2 3|
|0 -2 1| =
|2 2 7|
1((-2).7 - 2.1) - 2(0.7 - 2.1) + 3(0.2 - 2.(-2)) =
-14 - 2 - 2(-2) + 3.4 =
-16 + 4 + 12 =
-16 + 16 =
0
Portanto, o conjunto {u,v,w} é Linearmente Dependente.
A afirmativa está correta.
II. Se w é combinação linear de u e v, então temos que w = a.u + b.v, ou seja,
(2,2,7) = a(1,2,3) + b(0,-2,1)
(2,2,7) = (a, 2a - 2b, 3a + b)
Daí, podemos montar o seguinte sistema:
{a = 2
{2a - 2b = 2
{3a + b = 7
Como a = 2, então:
2.2 - 2b = 2
4 - 2b = 2
2b = 2
b = 1
e
3.2 + b = 7
6 + b = 7
b = 1.
Portanto, w é combinação linear de u e v.
A afirmativa está correta.