considere os seguintes polinômios p(x) = x⁴ - 2x³ - 4x² + 2x + 3, h(x) = x+1 e q (x) = p (x)/h(x). Sobre as raízes da equação q(x) = 0, qual é a soma de todas as raízes dessa equação?
Soluções para a tarefa
vamos primeiramente fazer a divisão::
x⁴-2x³-4x²+ 2x+3÷x+1|x^3-3x^2-4x+6
________________|
x⁴-2x³-4x²+2x+3
-x⁴-x^3
0|-3x3-4x^2+2x+3
__+3x³________|
___0_|-4x^2+2x+3
_____|4x²+4x
_____|0___6x+3
__________|-6x-6
__________|0__-3
q(x)=x^3-3x^2-4x+6
x^3-3x^2-4x+6=0
x'+x"+x"=-b/a
x'+x'+x""=-(-3)/1
x'+x"+x"'=3
espero ter ajudado!
boa tarde!
Vamos lá.
Veja, Laranjinha, que a resolução é mais ou menos simples. Mas vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Tem-se: considere os seguintes polinômios: p(x) = x⁴ - 2x³ - 4x² + 2x + 3; h(x) = x + 1; e q(x) = p(x) / h(x) . Sobre as raízes da equação q(x) = 0, qual é a soma de todas as raízes de q(x) ?
ii) Veja: primeiro vamos fazer a divisão de p(x) por h(x) pela forma tradicional. Se o resto for igual a zero, então é porque p(x) é divisível por h(x). Vamos fazer a divisão:
x⁴ - 2x³ - 4x² + 2x + 3 |_x+1_ <--- divisor.
.......................................... x³ - 3x² - x + 3 <--- quociente.
-x⁴-x³
---------------------------------
0 -3x³ - 4x² + 2x + 3
..+3x³ + 3x²
--------------------------------
......0 - x² + 2x + 3
.........+ x² + x
------------------------------
............0 + 3x + 3
................- 3x - 3
------------------------
....................0....0 <--- Resto. Veja: se deu resto zero então é porque p(x) é realmente divisível por h(x).
iii) Agora vamos trabalhar com o quociente q(x), que já vimos acima, e que é este:
q(x) = x³ - 3x² - x + 3
Agora note: pelas relações de Girard, tiramos os seguintes aprendizados, em qualquer polinômio da forma: axⁿ + bxⁿ⁻¹ + cxⁿ⁻² + dxⁿ⁻³ + .... + kxⁿ⁻ⁿ, com raízes iguais a x₁; x₂; x₃; x₄; ...... x ̪ .
- Soma das raízes:
x₁+x₂+x₃+x₄+....+x ̪ = -b/a
- produto das raízes:
x₁*x₂*x₃*x₄*...*x ̪ = k/a
Como no nosso caso queremos a soma das raízes de q(x) = x³ - 3x² - x + 3, então só teremos três raízes, pois o polinômio é do 3º grau. Assim, a soma das raízes será dada por: (note que os coeficientes de q(x) são estes: a = 1 --- (é o coeficiente de x³); b = -3 ---(é o coeficiente de x²); c = -1 --- (é o coeficiente de x) e d = 3 --- (é o coeficiente do termo independente) ). Assim, a soma das raízes será dada por:
x₁ + x₂ + x₃ = -b/a ---- substituindo-se "b" por "-3" e "a" por "1" , teremos (vide coeficientes acima de q(x) ):
x₁ + x₂ + x₃ = -(-3)/1 ------ desenvolvendo, teremos:
x₁ + x₂ + x₃ = 3/1 --- ou apenas:
x₁ + x₂ + x₃ = 3 <--- Esta é a resposta. Ou seja, a soma das raízes de q(x) é igual a "3".
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.