Question

Considere os retângulos que possuem um dos lados sobre o eixo x contido no intervalo [0,6], o outro sobre a reta vertical x = 6 e um dos cantos sobre a curva f(x) = 6x^1/4 (6x elevado na um quarto), conforme a figura abaixo:

A área máxima dentre esses retângulos, com duas casas decimais, é:
a) 7,54
b) 45,07
c) 11,27
d) n.d.a
e) 30,14

Answer 1

A questão trata de maximização de funções, no caso, de uma função de área A(x).

Definimos a área do retângulo como uma função

$A:[0,6]\rightarrow \mathbb{R}$

definida por

$A(x)=(6-x)*f(x)$

A base do retângulo varia de acordo com 6 - x, enquanto a altura é determinada por f(x), portanto

$A(x)=(x-6)(6x^{\frac{1}{4}})=6x^{\frac{5}{4}}-36x^{\frac{1}{4}}$

Dada uma função a ser maximizada/minimizada, seu ponto de máximo/mínimo é tal que sua derivada é nula naquele ponto. Então, se

$\dfrac{dA}{dx}(x_0)=0$

$x_0$ é máximo/mínimo. Como nossa função tem extremos A(0)=A(6)=0 e A é sempre positivo, só pode haver um ponto de máximo.

Vamos derivar nossa área,

$\dfrac{dA}{dx}= 6\dfrac{5}{4}x^{\frac{1}{4}}-\dfrac{36}{4}x^{-\frac{3}{4}}=0$

Multiplicando ambos os lados por $x^{\frac{3}{4}}$

$\dfrac{dA}{dx}= \dfrac{15}{2}x-9=0$

$x=\dfrac{18}{15}=1.2$

Portanto, a área máxima é igual à

$A(1.2)=6*(1.2)^{\frac{5}{4}}-36*(1.2)^{\frac{1}{4}} \approx 30.14 \hspace{0.2cm} \mathrm{u.a.}$

Alternativa e)