Question

Considere os pontos O(0,0,0), A(6,4,-4), B(-6,4,-4) e C(4,4,a), determine o valor de "a" de modo que os pontos O, A, B e C sejam coplanares.​

Answer 1

Para os pontos O(0,0,0), A(6,4,-4), B(-6,4,-4) e C(4,4,a) serem coplanares "a" deve ser igual a -4.

Condição de coplanaridade entre vetores

Primeiramente, devemos determinar os vetores OB, OB e OC:

OA =  (6, 4, -4) - (0, 0, 0) =  (6, 4, -4)

OB = (-6, 4, -4) - (0, 0, 0) =  (-6, 4, -4)

OC = (4, 4, a)    - (0, 0, 0) = (4, 4, a)

Para haver coplanaridade entre 3 vetores a determinante de sua matriz deve ser nula.

Calculando a determinante da matriz associada a esses pontos, temos:

$\left[\begin{array}{ccc}6&4&-4\\-6&4&-4\\4&4&a\end{array}\right]=0\\\\\\(-4).4.4+6.(-4).4+4.(-6).a-(6.4,a+4.(-4).4+(-4).(-6).4)=0\\\\\\-64-96-24a-24a+64-96=0\\\\\\-192-48a=0 \Rightarrow a =-\dfrac{192}{48}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{lr}\boxed{\begin{array}{lr}a=-4\end{array}}\end{array}}$

Portanto, concluímos que "a" deve ser igual a -4 para os pontos O, A, B e C serem coplanares.

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