Question

Considere os pontos A e B, do primeiro quadrante, em que a curva x2 + y2 = 40 encontra a curva x . y = 12. A equação da reta AB é

Answer 1

Geralmente a interseção de curvas é dada por um sistema linear, mas não é esse caso, daí teremos que fazer uma substituição.

$a: \, x^2+y^2=40 \\ \\ b: \, xy=12$

Fazendo:

$\displaystyle xy=12 \\ \\ x= \frac{12}{y}$

E substituindo na equação da circunferência:

$\displaystyle x^2+y^2=40 \\ \\ \\ \bigg( \frac{12}{y} \bigg)^2 + y^2=40 \\ \\ \\ \frac{144}{y^2}+y^2=40 \\ \\ \\ \frac{144+y^4}{y^2}=40 \\ \\ \\ 144+y^4=40y^2 \\ \\ \\ y^4-40y^2+144$

Calculando as raízes dessa equação, encontramos x = 2, x = 6, x = -2 e x = -6, mas o que nos interessa é somente 2 e 6, pois se encontram no primeiro quadrante. Daí o valor da ordenada y será:

$xy=12 \\ \\ 2 \cdot y = 12 \\ \\ y=6 \\ \\ === \\ \\ xy=12 \\ \\ 6 \cdot y=12 \\ \\ y=2$

Portanto os pontos de interseção das curvas no primeiro quadrante são:

$A = (2,6) \\ \\ B=(6,2)$

O coeficiente angular da reta AB será:

$\displaystyle m = \frac{y_{b}-y_{a}}{x_{b}-x_{a}} \\ \\ \\ m = \frac{2-6}{6-2} \\ \\ \\ m=-1$

E a equação será a seguinte, escolhendo A = (2,6) e m = -1

$\displaystyle y-y_{0} = m \cdot (x-x_{0}) \\ \\ y-6=-1 \cdot (x-2) \\ \\ y-6=-x+2 \\ \\ y=-x+2+6 \\ \\ y=-x+8 \\ \\\boxed{ x+y-8=0 }$