Question

Considere os pontos A(2 , 3), B(−1 , 4), C(5 , −1) e D(4 , 2). Determine:
a)A área do quadrilátero ABCD
b)A altura do triângulo formado pelos pontos ABC.

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos estas questões, devemos relembrar algumas propriedades estudadas em geometria analítica.

Seja o quadrilátero de vértices $A~(2,~3)$, $B~(-1,~4)$, $C~(5,-1)$ e $D~(4,~2)$. Observe a imagem em anexo.

a) Para calcularmos sua área, utilizaremos o Teorema de Pick. Consiste basicamente em encontrar a área de um polígono simples que está desenhado em um plano de pontos equidistantes e coordenadas inteiras.

A área $S$ de um polígono que satisfaz estas condições é dada pela fórmula:

$S=i+\dfrac{f}{2}-1$, tal que $i$ é a quantidade de pontos internos,  e $f$ é a quantidade de pontos fronteiriços (que pertencem ao perímetro).

Observe que na imagem, marcamos os pontos de coordenadas inteiras (em preto) que estão dentro do polígono. Não existem outros pontos além dos vértices que satisfaçam esta condição para os pontos fronteiriços, logo a área será:

$S=6+\dfrac{4}{2}-1$

Simplifique a fração

$S=6+2-1$

Some os valores

$S=7$

Esta é a área do quadrilátero $ABCD$.

b) Para calcularmos a medida da altura do triângulo $\Delta{ABC}$, devemos lembrar que a altura é a projeção ortogonal de um vértice no lado oposto.

Então, calculando a altura relativa ao vértice $A$:

Utilizamos matrizes para encontrar a reta que passa pelos pontos $B$ e $C$:

$\left|\begin{matrix}-1 & 4&1 \\ 5&-1 &1 \\ x& y & 1\end{vmatrix}=0$

Para resolvermos este determinante, utilize a Regra de Sarrus, replicando as duas primeiras colunas à direita do determinante e calculando a diferença entre a soma dos produtos dos elementos das diagonais principal e secundária.

$\left|\begin{matrix}-1 & 4 &1 \\ 5&-1 &1 \\ x& y & 1\end{matrix}\right.\left|\begin{matrix}-1 & 4 \\ 5&-1 \\ x& y \end{matrix}\right.=0\\\\\\ (-1)\cdot(-1)\cdot1+4\cdot1\cdot x+1\cdot5\cdot y-(4\cdot5\cdot1+(-1)\cdot1\cdot y+1\cdot(-1)\cdot x)=0$

Multiplique os valores

$1+4x+5y-(20-y-x)=0$

Efetue a propriedade distributiva

$1+4x+5y-20+y+x=0$

Some os valores

$5x+6y-19=0$

Para encontramos a distância do vértice $A$ até a reta, utilize a fórmula: $d=\dfrac{|a\cdot x_0+b\cdot y_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Substituindo as coordenadas

$d=\dfrac{|5\cdot 2+6\cdot 3-19|}{\sqrt{5^2+6^2}}$

Calcule as potências, multiplique e some os valores

$d=\dfrac{|9|}{\sqrt{61}}$

O módulo de um número positivo é o próprio número, logo

$d=\dfrac{9}{\sqrt{61}}$

Racionalize o denominador

$d=\dfrac{9\sqrt{61}}{61}$

Esta é a medida da altura deste triângulo.