Question

Considere os pontos A = (-2, 0), B = (2, 0), C = (0, 3) e P = (0, á), com 0 < a < 3 . Pelo ponto P, traçamos as três retas paralelas aos lados do triângulo ABC.
a) Determine, em função de á, a área da região sombreada na figura.
b) Para que valor de á essa área é máxima?

Answer 1

AB = d(b,c)
AB=4

d(a,c)=d(b,c)
AC=BC ~~ É isósceles.

Portanto, a altura intercepta a base no ponto médio.

AC=BC = √ (0-2)² + (3-0)²
AC=BC = √13

AC²=2²+h²
h²=13-4
h²=9
h=3   [ Dados importantes para achar os senos ou os cossenos ou tangente ]


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Não é difícil notar que essas áreas sombreadas são paralelogramos, visto que seus lados opostos são paralelos e iguais.

E olha que top : a medida OP é a altura desses paralelogramos. [ 10de+]

Sabendo que a área dos paralelogramos é b x h.
Basta só sabermos a base.
Faremos isso com cada um dos paralelogramos.  [Explicação importante ]

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Vamos achar o Cosseno de B.

tgB=h/d(A,O)
tgB=3/2

tgB=á / w
w=2á/3

b=d(A,O) - w
b=2-2á/3
b=6-2á/3

S=b x h
S= 6á-2á² / 3 [Área de um paralelogramo ]

Como são 3.. Basta multiplicar por 3.

S(sombreada ) = 6á-2á² [ Seria a nossa alternativa (a) ]

Para achar a área máxima agora, basta acharmos o xv dessa parábola.

xv=-6/-2.2
xv=6/4
xv=3/2  [Seria a nossa alternativa b ]