Question

considere os pontos a(1,3) b(5,1) c(5,5) verifique se é um triângulo equilátero?​

Answer 1

De acordo com os cálculos realizados, podemos afirmar com certeza que o triângulo em questão não é equilátero, mas sim isósceles.

Explicação

Temos o seguinte pontos de um triângulo:

$\: \: \: \: \:\:\:\:\:\: \: \bf A(1,3), \: B(5,1), \: C(5,5)$

O objetivo desta questão é determinar se o triângulo em questão é ou não equilátero. Antes de iniciarmos os cálculos vamos relembrar qual a condição para que o triângulo seja equilátero.

• Triângulo equilátero:

Este tipo de triângulo é caracterizado por ter todos os lados possuindo a mesma medida e todos os ângulos internos iguais. Ter a mesma medida em todos os dados é a mesma coisa de dizer que a distância entre um vértice e outro é igual. Então concluímos que o triângulo só será equilátero se $\bf d_{A,B} = d_{A,C} = d_{B,C}$.

• Distância entre dois pontos:

Para determinar a distância entre dois pontos utiliza-se uma fórmula que calcula a raiz do quadrado da diferença entre as abscissas e ordenadas de cada um dos pontos. $\bf d_{G,H} = \sqrt{(X_G-X_H)^2+(Y_G-Y_H)^2}$.

Utilizando a fórmula citada acima, vamos determinar cada uma das distância requisitadas. Para facilitar o entendimento e o cálculo, vamos organizar todos as abscissas e ordenadas.

$A(1,3) \: \: \to \: \: X _a= 1 \: \: e \: \: Y_a = 3 \\ B(5,1) \: \: \to \: \:X _b= 5 \: \: e \: \: Y _b= 1 \\ C(5,5) \: \: \to \: \: X_c = 5 \: \: e \: \: Y_c = 5$

Substituindo estes dados na fórmula:

$d_{A,B} \begin{cases} \sqrt{( X_b - X_a) ^{2} + (Y_b - Y_a) {}^{2} } \\ \sqrt{(5 - 1) {}^{2} + (1 - 3) {}^{2} } \\ \sqrt{(4 ) {}^{2} + ( - 2) {}^{2} } \\ \sqrt{16 + 4 } \\ \sqrt{20} \: \: u .c\end{cases} \\ \\ d_{A,C} \begin{cases} \sqrt{( X_c - X_a) ^{2} + (Y_c- Y_a) {}^{2} } \\ \sqrt{(5 - 1) {}^{2} + (5 - 3) {}^{2} } \\ \sqrt{(4 ) {}^{2} + ( 2) {}^{2} } \\ \sqrt{16 + 4 } \\ \sqrt{20} \: \: u .c\end{cases} \\ \\ d_{B,C} \begin{cases} \sqrt{( X_c - X_b) ^{2} + (Y_c - Y_b) {}^{2} } \\ \sqrt{(5 - 5) {}^{2} + (5- 1) {}^{2} } \\ \sqrt{(0 ) {}^{2} + ( 4) {}^{2} } \\ \sqrt{0 + 16 } \\ {4} \: \: u .c\end{cases}$

Observe que duas distâncias foram iguais e uma diferente, então podemos concluir que este triângulo não é equilátero, mas sim isósceles, já que possui dois lados iguais e um diferente.

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