Question

Considere os pontos A(1,-1) e B(-1,3):

a)Determine a equação geral da reta que passa pelos pontos supracitados.

b)Represente essa mesma reta na forma reduzida.

c)Identifique os coeficientes angular e o coeficiente linear.

Answer 1

Resolvendo os itens sobre equação da reta, chegamos aos resultados: letra a) – 4x – 2y + 2 = 0; letra b) y = – 2x + 1; letra c) m = – 2 e n = 1.

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A equação geral da reta é dada por

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf a\:\!x+b\:\!y+c=0\end{array}}$

, e para reduzi-la, isolamos y

$\begin{array}{l}\sf\!\!\Rightarrow~~b\:\!y=-\,a\:\!x-c\\\\\sf\Leftrightarrow~~y=-\dfrac{~a~}{b}\:\!x-\dfrac{~c~}{b}\end{array}$

, assim fazendo – a/b = m, e – c/b = n, a equação reduzida da reta fica na forma:

$\large\quad\quad\quad\boxed{\begin{array}{l}\sf y=m\:\!x+n\end{array}}$

• m → coeficiente angular;
• n → coeficiente linear.

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Prosseguindo, considerando dois pontos A(1 , – 1) e B(– 1 , 3), vamos determinar o que cada item pede:

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a) determinar a equação geral da reta

Para isso, podemos fazer pelo determinante de uma matriz formada a partir dos dois pontos dados:

$\begin{array}{l}\sf\Rightarrow~~\left|\begin{array}{cc}\sf x&\sf y\\\sf1&\sf\!\!\!\!-1\\\sf\!\!\!\!-1&\sf3\end{array}\right|\end{array}$

• Para ser de ordem 3, adicionemos uma coluna de números um:

$\begin{array}{l}\sf\Rightarrow~~\left|\begin{array}{ccc}\sf x&\sf y&\sf1\\\sf1&\sf\!\!\!\!-1&\sf1\\\sf\!\!\!\!-1&\sf3&\sf1\end{array}\right|\end{array}$

• E pela Regra de Sarrus: repetimos as duas colunas iniciais ao lado da matriz, façamos a soma do produto de uma diagonal (principal), e subtraímos da soma do produto da outra diagonal (secundária):

Obs.: vamos também igualar a zero.

$\begin{array}{l}\quad\quad\quad\ \ \sf\left|\begin{array}{ccc}\sf x&\sf y&\sf1\\\sf1&\sf\!\!\!\!-1&\sf1\\\sf\!\!\!\!-1&\sf3&\sf1\end{array}\right|\begin{matrix}\sf~x&\sf~y\\\sf~1&\sf\!\!-1\\\sf\!\!-1&\sf~3\end{matrix}=0\\\\\sf\iff~~~x.(-1).1+y.1.(-1)+1.1.3-[1.(-1).(-1)+x.1.3+y.1.1]=0\\\\\sf\iff~~-x-y+3-[1+3\:\!x+y]\\\\\sf\iff~~-x-y+3-1-3\:\!x-y=0\\\\\quad\!\therefore\quad~\boldsymbol{\boxed{\sf-\,4\:\!x-2\:\!y+2=0}}\end{array}$

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b) determinar a equação reduzida da reta

Para isso basta isolar y, como foi mostrado no inicio:

$\begin{array}{l}\quad\quad\quad\ \ \sf\sf\!\!-4\:\!x-2\:\!y+2=0\\\\\sf\iff~~-2\:\!y=4\:\!x-2\\\\\sf\iff~~~2\:\!y=-\,4\:\!x+2\\\\\sf\iff~~~y=-\dfrac{~4~}{2}\:\!x+\dfrac{~2~}{2}\\\\\quad\!\therefore\quad~~\boldsymbol{\boxed{\sf y=-\,2\:\!x+1}}\end{array}$

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c) identificar os coeficientes, angular e linear

Como foi dito no inicio, a equação reduzida da reta é da forma y = mx + n, onde m e n são os coeficientes, angular e linear respectivamente. Então temos que:

$\\\begin{array}{l}\sf y=\underbrace{\sf-\,2}_{angular}\!\!x\,+\underbrace{\sf1}_{linear}\\\\\sf\therefore~\boldsymbol{\sf m=-\,2}\quad e\quad\boldsymbol{\sf n=1}\end{array}$

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