Question

Considere os pontos A: (0,0), B (2,0) e C(0,3).
Seja P: (x,y) o ponto de intersecção das bissetrizes internas do triângulo ABC. Então x+y é igual:
(A). 12/5+√13 (B). 8/2+√11. (C). 10/6+√13. (D)5. (E)2.

Answer 1

x + y é igual:

(A) 12/(5+√13)

Explicação:

O ponto de intersecção das bissetrizes internas de um triângulo é chamado de incentro.

Suas coordenadas são iguais à medida do raio do círculo.

Antes, precisamos achar as medidas dos lados desse triângulo.

a = √(2 - 0)² + (0 - 0)²

a = √2² + 0²

a = √4

a = 2

b = √(0 - 2)² + (3 - 0)²

b = √(- 2)² + 3²

b = √4 + 9

b = √13

c = √(0 - 0)² + (0 - 3)²

c = √0² + (- 3)²

c = √9

c = 3

Como o triângulo é retângulo em A, sua área é dada por:

A = a . c

        2

A = 2 . 3

        2

A = 3

O ponto P(x,y) é o centro do círculo inscrito no triângulo ABC.

A área do triângulo pode ser calculada com o produto do semi-perímetro pelo raio do círculo. Logo:

A = p . r

A = (a + b + c) . r

            2

3 = (2 + √13 + 3) . r

               2

3 = (5 + √13) . r

            2

(5 + √13) . r = 6

r =     6    

    5 + √13

P (x, y) = P (r, r)

Logo x + y é:

    6      +     6     =    12    

5 + √13    5 + √13    5 + √13