Question

Considere os polinômios A(x) = x3 – 3x + 2 e B(x) = x3 – 2x2 – 3x +2.
a) Calcule A(1) e B(1)
b) Calcule x para que A(x) = 0​

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{a)~A(1)=0,~B(1)=-2~|~b)A(x)=0~para~x=1~(dupla)~ou~x=-2}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos estas questões, devemos relembrar algumas propriedades de polinômios.

Sejam os polinômios $A(x)=x^3-3x+2$ e $B(x)=x^3-2x^2-3x+2$.

a) Devemos calcular $A(1)$ e $B(1)$. Para isso, devemos apenas substituir o valor $x=1$ nos polinômios:

$A(1)=1^3-3\cdot 1+2\\\\\\ B(1)=1^3-2\cdot 1^2-3\cdot 1 +2$

Calcule as potências e multiplique os valores

$A(1)=1-3+2\\\\\\ B(1)=1-2-3 +2$

Some os valores

$A(1)=0\\\\\\ B(1)=-2$

b) Devemos calcular $x$ para que $A(x)=0$.

Observe que quando calculamos $A(1)$, seu resultado foi igual a zero. Logo $x=1$ é um dos valores que procurávamos. Para encontrar o restante dos valores, utilizaremos o algoritmo prático de Briot-Ruffini.

Quando dispomos os coeficientes da equação da seguinte forma:

$\underset{\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_}{~~x~~|~~~~a~~~~b~~~~c~~~~d}$

Devemos colocar os valores para os quais $A(x)$ é igual a zero na coluna respectiva, enquanto repetimos o primeiro coeficiente e realizamos o processo: consiste em multiplicar o coeficiente pelo valor que substituímos e somá-lo ao próximo até chegarmos ao último.

Quando utilizamos os valores em que $A(x)$ é igual a zero, os elementos que ficarão na linha logo ao lado serão coeficientes de um polinômio de grau menor: ao resolvê-lo, encontraremos o restante das raízes.

Então, substitua o valor dos coeficientes do polinômio $A(x)$, mas observe que não temos o termo $x^2$. Isto significa que seu coeficiente é zero.

$\underset{\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_}{~~x~~|~~~~1~~~~0~~~~-3~~~~2}}\\~~~~1~~|~~~~1$

Aplique a regra discutida acima

$\underset{\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_}{~~x~~|~~~~1~~~~0~~~~-3~~~~2}}\\~~~~1~~|~~~~1~~~~1~~~~-2~~~~0$

Então, utilizando os novos coeficientes, temos que encontrar as raízes do polinômio $x^2+x-2=0$.

Para isso, utilizamos a fórmula resolutiva: $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}$

Substitua o valor dos coeficientes

$x=\dfrac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot 1\cdot (-2)}}{2\cdot 1}$

Efetue a propriedade de sinais, multiplique  e some os valores

$x=\dfrac{-1\pm\sqrt{1+8}}{2}\\\\\\\ x=\dfrac{-1\pm\sqrt{9}}{2}$

Sabemos que $9=3^2$, logo

$x=\dfrac{-1\pm3}{2}$

Separe as raízes

$x_1=\dfrac{-1-3}{2}~~~~~~ x_2=\dfrac{-1+3}{2}$

Some os valores e simplifique as frações

$x_1=-2~~~~~~ x_2=1$

Observe que a raiz $1$ aparece mais de uma vez. Isto significa que ela é uma raiz de multiplicidade 2.

Então, os valores de $x$ que tornam $A(x)=0$ são: $x=1~(dupla)$ e $x=-2$.