Matemática, perguntado por gabrielagarcia57, 9 meses atrás

Considere os polinômios A(x) = x3 – 3x + 2 e B(x) = x3 – 2x2 – 3x +2.
a) Calcule A(1) e B(1)
b) Calcule x para que A(x) = 0​

Soluções para a tarefa

Respondido por SubGui
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Resposta:

\boxed{\bold{\displaystyle{a)~A(1)=0,~B(1)=-2~|~b)A(x)=0~para~x=1~(dupla)~ou~x=-2}}}

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos estas questões, devemos relembrar algumas propriedades de polinômios.

Sejam os polinômios A(x)=x^3-3x+2 e B(x)=x^3-2x^2-3x+2.

a) Devemos calcular A(1) e B(1). Para isso, devemos apenas substituir o valor x=1 nos polinômios:

A(1)=1^3-3\cdot 1+2\\\\\\ B(1)=1^3-2\cdot 1^2-3\cdot 1 +2

Calcule as potências e multiplique os valores

A(1)=1-3+2\\\\\\ B(1)=1-2-3 +2

Some os valores

A(1)=0\\\\\\ B(1)=-2

b) Devemos calcular x para que A(x)=0.

Observe que quando calculamos A(1), seu resultado foi igual a zero. Logo x=1 é um dos valores que procurávamos. Para encontrar o restante dos valores, utilizaremos o algoritmo prático de Briot-Ruffini.

Quando dispomos os coeficientes da equação da seguinte forma:

\underset{\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_}{~~x~~|~~~~a~~~~b~~~~c~~~~d}\\

Devemos colocar os valores para os quais A(x) é igual a zero na coluna respectiva, enquanto repetimos o primeiro coeficiente e realizamos o processo: consiste em multiplicar o coeficiente pelo valor que substituímos e somá-lo ao próximo até chegarmos ao último.

Quando utilizamos os valores em que A(x) é igual a zero, os elementos que ficarão na linha logo ao lado serão coeficientes de um polinômio de grau menor: ao resolvê-lo, encontraremos o restante das raízes.

Então, substitua o valor dos coeficientes do polinômio A(x), mas observe que não temos o termo x^2. Isto significa que seu coeficiente é zero.

\underset{\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_}{~~x~~|~~~~1~~~~0~~~~-3~~~~2}}\\~~~~1~~|~~~~1

Aplique a regra discutida acima

\underset{\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_}{~~x~~|~~~~1~~~~0~~~~-3~~~~2}}\\~~~~1~~|~~~~1~~~~1~~~~-2~~~~0

Então, utilizando os novos coeficientes, temos que encontrar as raízes do polinômio x^2+x-2=0.

Para isso, utilizamos a fórmula resolutiva: x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}

Substitua o valor dos coeficientes

x=\dfrac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot 1\cdot (-2)}}{2\cdot 1}

Efetue a propriedade de sinais, multiplique  e some os valores

x=\dfrac{-1\pm\sqrt{1+8}}{2}\\\\\\\ x=\dfrac{-1\pm\sqrt{9}}{2}

Sabemos que 9=3^2, logo

x=\dfrac{-1\pm3}{2}

Separe as raízes

x_1=\dfrac{-1-3}{2}~~~~~~ x_2=\dfrac{-1+3}{2}

Some os valores e simplifique as frações

x_1=-2~~~~~~ x_2=1

Observe que a raiz 1 aparece mais de uma vez. Isto significa que ela é uma raiz de multiplicidade 2.

Então, os valores de x que tornam A(x)=0 são: x=1~(dupla) e x=-2.

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