Question

Considere os planos π1 : 3x−y−z = 0, π2 : 8x−2y−3z +1 = 0, π3 : x−3y+z +3 = 0,
e π4 : 3x − y − z + 5 = 0. Encontre a reta de interseção dos planos π1 e π2, em seguida,
encontre a reta de interseçãao de π3 e π4, por fim, determine a equação dos planos que contêm as retas encontradas.

Answer 1

Resposta:

Explicação passo a passo:

A equação reduzida é:

{y = x - 2

{z = -2x + 1.

Primeiramente, vamos determinar as equações paramétricas da reta.

Para isso, precisamos de um vetor direção e um ponto.

O vetor direção da reta será o produto vetorial entre os vetores normais dos planos, ou seja, u = (3,-1,1) x (1,3,2).

Fazendo o produto vetorial, obtemos:

u = -5i - 5j + 10k

u = (-5,-5,10).

Da equação do plano x + 3y + 2z = -4, podemos dizer que x = -3y - 2z - 4. Substituindo o valor de x na equação 3x - y + z = 3:

3(-3y - 2z - 4) - y + z = 3

-9y - 6z - 12 - y + z = 3

-10y - 5z = 15

-2y - z = 3

z = -2y - 3.

Assim,

x = -3y - 2(-2y - 3) - 4

x = -3y + 4y + 6 - 4

x = y + 2.

Os pontos de interseção são da forma (y + 2, y, -2y - 3). Fazendo y = 1, temos o ponto (3,1,-5).

As equações paramétricas da reta são:

{x = 3 - 5t

{y = 1 - 5t

{z = -5 + 10t.

De x = 3 - 5t, temos:

5t = -x + 3

t = (-x + 3)/5.

Portanto,

{y = x - 2

{z = -2x + 1.