Question

Considere os números X = 2^700 Y= 11^200 e Z= 5^300

Assinale a alternativa correta:

Qual a ordem dos números? 


Faz sentido eu imaginar calcular 2^7, 11^2, 5^3 e tirar as conclusões?

Answer 1

Bom dia 

x = 2^700
log(x) = 700*log(2) = 700*0.301 = 210.7

y = 11^200
log(y) = 200*log(11) = 200*1.0413 = 208.26

z = 5^300
log(z) = 300*log(5) = 300*0.69897 = 209.691

em ordem crescente 

11^200, 5^300, 2^700

Faz sentido calcular log(2^7), log(11^2), log(5^3) e tirar as conclusões

Answer 2

Sejam

    $\mathsf{X=2^{700},~Y=11^{200},~Z=5^{300}.}$

É sempre mais complicado comparar resultados de potências de bases diferentes. Porém, podemos tentar simplificar o trabalho procurando potências, cujos resultados sejam próximos o suficiente para facilitar a comparação.

•  Potências de 2:

    2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ...

•  Potências de 5:

    5, 25, 125, 625...

•  Potências de 11:

    11, 121, 1331, ...

Imediatamente, podemos escrever

    $\mathsf{121<125<128}\\\\ \mathsf{11^2<5^3<2^7}$

Agora eleve a 100 todos os membros da desigualdade acima. Como temos uma desigualdade entre números positivos, o sentido se mantém:

    $\mathsf{(11^2)^{100}<(5^3)^{100}<(2^7)^{100}}\\\\ \mathsf{11^{2\,\cdot\,100}<5^{3\,\cdot\,100}<2^{7\,\cdot\,100}}\\\\ \mathsf{11^{200}<5^{300}<2^{700}}\\\\ \mathsf{Y<Z<X\quad \longleftarrow\quad resposta.}$

Bons estudos! :-)