Question

considere os numeros reais x e y e o sistema abaixo:
6^ log(x-30) na base 6 = y
logx na base4 - logy na base 4 = 2

Answer 1

Vamos lá.

Kezia, estamos entendendo que as suas expressões logarítmicas estariam escritas da seguinte forma (se não estiverem escritas como vamos considerar aí em baixo você nos avisa, ok?), formando um sistema:


{6^[log₆ (x-30)] = y            . (I)
{log₄ (x) - log₄ (y) = 2        . (II)


i) Vamos iniciar trabalhando com a expressão (I), que é esta:

6^[log₆ (x-30)] = y

Antes veja que há uma propriedade logarítmica segundo a qual:

n^[log ̪  (A)] = A

Assim, tendo a propriedade acima como parâmetro, então teremos que:

6^[log₆ (x-30)] = x-30 .

Como a expressão está igualada a "y", então teremos que:

y = x - 30    . (III)


ii) Agora vamos trabalhar com a expressão (II), que é esta:

log₄ (x) - log₄ (y) = 2 ----- note que a subtração transforma-se em divisão, ficando:

log₄ (x/y) = 2 ----- veja: conforme a definição de logaritmos, o que temos aqui é a mesma coisa que:

4² = x/y
16 = x/y ----- multiplicando em cruz, teremos:
16y = x ---- ou, invertendo-se:
x = 16y      . (IV)


iii) Agora vamos vamos na expressão (III), que é esta:

y = x - 30 ----- substituindo "x" por "16y", conforme vimos na expressão (IV), iremos ficar da seguinte forma:

y = 16y - 30 ----- passando "16y" para o 1º membro, teremos;
y - 16y = - 30 
- 15y = - 30 ---- multiplicando ambos os membros por "-1", ficaremos com:

15y = 30
y = 30/15
y = 2 <--- Este é o valor de "y".


Agora, para encontrar qual é o valor de "x", vamos na expressão (IV), que é esta:

x = 16y ----- substituindo "y" por "2", teremos:
x = 16*2
x = 32 <---- Este é o valor de "x".


iii) Assim, resumindo, teremos que:

x = 32; e y = 2 <---- Esta é a resposta.

Se você quiser, poderá apresentar o conjunto-solução {x; y} da seguinte forma:

S = {32; 2} .


Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.