Question

Considere os números naturais a= 2(elevado a 17)x 3(elevado a 28)x 7(elevado a 10) e b= 2(elevado a 9)x5(elevado a 2)x 7(elevado a 16).
o maior divisor comum de a e b como produto de potências de números primos é?

Answer 1

Olá.

 

Temos os valores algébricos de a e b:

 

$\Large\begin{array}{rl} \mathsf{a:}&\mathsf{2^{17}\times3^{28}\times7^{10}}\\\\ \mathsf{b:}&\mathsf{2^{9}\times5^2\times7^{16}} \end{array}$

 

O divisor máximo de dois valores em formas potências é igual as potências com maior expoente que são comuns em ambas. Como exemplo, demonstro:

 

$\Large\begin{array}{l} \mathsf{\dfrac{ad^4}{bd^4}=\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{d^4}{d^4}} \end{array}$

 

No caso do exemplo, d⁴ é o divisor comum.

 

Para resolver essa questão, temos que usar duas propriedades de potências, que apresento abaixo:

 

     Produto de potências de mesma base. Nesses casos, se mantém a base e soma-se os expoentes. Segue um exemplo algébrico:

 

$\Large\begin{array}{l}\mathsf{a^{m}\cdot a^n=a^{m+n}} \end{array}$

 

     Quociente de potências de mesma base. Nesses casos, se mantém a base e subtraem-se os expoentes. Segue um exemplo algébrico:

 

$\Large\begin{array}{l}\mathsf{a^{r}\div a^s=a^{r-s}} \end{array}$

 

$\textsf{--------------------------------------------------}$

 

Expresso a e b em formas de fração, donde irei separar o divisor máximo como no exemplo, seguindo o que foi falado acima. Vamos aos cálculos.

 

$\Large\begin{array}{l}\mathsf{\dfrac{a}{b}=\dfrac{2^{17}\times3^{28}\times7^{10}}{2^{9}\times5^2\times7^{16}}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{a}{b}=\dfrac{2^{9}\times2^8\times3^{28}\times7^{10}}{2^{9}\times5^2\times7^{10}\times7^{6}}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{a}{b}=\dfrac{2^8\times3^{28}\times2^{9}\times7^{10}}{5^2\times7^{6}\times2^{9}\times7^{10}}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{a}{b}=\dfrac{2^8\times3^{28}}{5^2\times7^{6}}\times\dfrac{2^{9}\times7^{10}}{2^{9}\times7^{10}}} \end{array}$

 

Como demonstrado acima, o maior número (divisor) em comum à a e b é:

$\Large\begin{array}{l}\mathsf{2^9\times7^{10}}\end{array}$

Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.

Bons estudos$.$