Question

Considere os números complexos z1 = a + bi, z2 = -b +ai ez3=-b-3i,com a e b números inteiros. Sabendo que z1 + z2 + z3 = 0, o valor de (z2/z1)^3 é igual a a 1. b -1. c – i. d i.

Answer 1

Vamos começar substituindo os  valores de Z1, Z2 e Z3 na equação dada:

$Z_1+Z_2+Z_3~=~0\\\\\\(a+bi)+(-b+ai)+(-b-3i)~=~0\\\\\\(a-b-b)~+~i\,.\,(b+a-3)~=~0\\\\\\\boxed{(a-2b)~+~i\,.\,(b+a-3)~=~0}\\\\\\Para~que~a~igualdade~seja~respeitada,~tanto~a~parte~real~quanto~a~parte\\imaginaria~do~numero~complexo~(membro~esquerdo~da~equacao)~devem\\valer~0,~logo:\\\\\\Parte~Real:~\boxed{a-2b~=~0}\\\\Parte~Imag:\,\boxed{b+a-3~=~0}$

Perceba que temos duas equações e duas incógnitas ("a" e "b"), ou seja, temos um sistema de equações. Vamos utilizar o método da adição para resolver o sistema.

$Somando~a~2^a~equacao~com~o~negativo~da~1^a:\\\\\\(b+a-3)-(a-2b)~=~0+0\\\\\\b+a-3-a+2b~=~0\\\\\\3b~=~3\\\\\\b~=~\frac{3}{3}\\\\\\\boxed{b~=~1}\\\\\\Como~a-2b=0,~temos:\\\\\\a~-~2~.~1~=~0\\\\\\a-2~=~0\\\\\\\boxed{a~=~2}$

Por fim, podemos calcular o que é pedido:

$\left(\frac{Z_2}{Z_1}\right)^3~=~\left(\frac{-1+2i}{2+i}\right)^3\\\\\\\left(\frac{Z_2}{Z_1}\right)^3~=~\frac{\left(-1+2i\right)^3}{\left(2+i\right)^3}\\\\\\\left(\frac{Z_2}{Z_1}\right)^3~=~\frac{\left(-1+2i\right).\left(-1+2i\right).\left(-1+2i\right)}{\left(2+i\right).\left(2+i\right).\left(2+i\right)}\\\\\\\left(\frac{Z_2}{Z_1}\right)^3~=~\frac{11-2i}{2+11i}\\\\\\Multiplicando~numerador~e~denominador~pelo~conjugado~do~denominador:$

$\left(\frac{Z_2}{Z_1}\right)^3~=~\frac{11-2i}{2+11i}~.~\frac{2-11i}{2-11i}\\\\\\\left(\frac{Z_2}{Z_1}\right)^3~=~\frac{11~.~2~-~11~.~11i~-~2i~.~2~+~2i~.~11i}{2~.~2~-~2~.~11i~+~11i~.~2~-~11i~.~11i}\\\\\\\left(\frac{Z_2}{Z_1}\right)^3~=~\frac{22-121i-4i-22}{4-22i+22i+121}\\\\\\\left(\frac{Z_2}{Z_1}\right)^3~=~\frac{-125i}{125}\\\\\\\boxed{\left(\frac{Z_2}{Z_1}\right)^3~=~-i}$

Resposta: Letra C