Considere os números complexos z1 = 2(cos(π/3) + isen(π/3)) e z2 = 2(cos(7π/6) + isen(7π/6)) e as suas representações no plano complexo xOy. Sobre o exposto analise as asserções abaixo:
I. z1 e z2 pertencem à circunferência de equação x2 + y2 = 2.
PORQUE
II. Ambos tem módulo de medida 2, e este, é o tamanho do segmento que une o afixo a origem.
Podemos afirmar que
Alternativas
Alternativa 1:
As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma justificativa correta da primeira.
Alternativa 2:
As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é urna justificativa correta da primeira.
Alternativa 3:
A primeira asserção é urna proposição verdadeira, e a segunda é uma proposição falsa.
Alternativa 4:
A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda é uma proposição verdadeira.
Alternativa 5:
As duas asserções são proposições falsas.
Soluções para a tarefa
Considerando os números complexos dados, determinaremos que é correta a Alternativa 4.
Representação trigonométrica de um número complexo
Considerando um número complexo z = a + b.i temos que a sua representação trigonométrica é:
z = A( cos(θ) + i.sen(θ) )
Sendo:
A = √(a²+b²) o módulo de z
θ = arctan(b/a)
Um número complexo z também pode ser representado como um ponto de coordenadas (a, b) no plano complexo xOy. Esta representação é chamada de imagem de z ou afixo. Neste sentido, o módulo de um número complexo é o tamanho do segmento que une o afixo a origem.
Números complexos em uma circunferência
Observando os dois números complexos dados podemos notar que o módulo de ambos é 2. Portanto, a asserção II é verdadeira.
A circunferência da primeira asserção possui raio igual a √2, portanto ambos os números complexos z1 e z2 não pertencem a circunferência. A asserção I é falsa.
Logo, a alternativa correta é Alternativa 4.
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