Question

Considere os espaços V dados abaixo munidos das operações usuais de adição de vetores e de multiplicação por escalar. Para cada caso abaixo, responda se W é subespaço vetorial de V e prove que sua resposta está correta:

(a) V = R2, W = {(3y, y); y ∈ R}.

(b) V = R2, W = {(x, 2x − 1); x ∈ R}.

Answer 1

Resposta:

a) é subespaço vetorial

b) não é subespaço vetorial

Explicação passo-a-passo:

a) W = {(3y, y); y ∈ R}

i) w ≠ Ø

Seja u = (3y, y) ∈ w tal que y = 0

u = (3, 0, 0) = (0, 0)

∴ (0, 0) ∈ w, ou seja w ≠ Ø

ii) Sejam u e v ∈ w => u + v ∈ w

u = (3y1, y1), y1 ∈ R

v = (3y2, y2), y2 ∈ R

u + v = (3y1, y1) + (3y2, y2)

u + v = (3y1 + 3y2, y1 + y2)

u + v = (3(y1 + y2), y1 + y2)

z = (y1 + y2)

(z, 3z) ∈ w

iii) α ∈ R, u = (3y, y) ∈ w

α . u = α (3y, y)

α . u = (α3y, αy)

z = αy

(z, 3z) ∈ w

∴ (w,  ⊕, ʘ) é subespaço vetorial de (R2,  ⊕, ʘ)

b) w  = {(x, 2x − 1); x ∈ R}

i) w ≠ Ø

seja u = (x, 2x -1) ∈ w

(x, 2x -1) = (0, 0)

{x = 0

{2x -1 = 0

-1 = 0

∴ (0, 0) ∉ w

∴ (w,  ⊕, ʘ) não é subespaço vetorial de R2