Question

Considere os anagramas formados pela palavra PIRATARIA:

a. quantos são?

b. quantos começam e terminam com vogal?

c. quantos começam por consoante?

d. quantos começam por consoante e terminam em vogal?


obs: com explicação de cada alternativa.​

Answer 1

Permutações

   1. Permutações simples:

   Para calcularmos a quantidade de anagramas que podemos formar com uma dada quantidade $n$ de caracteres distintos, basta fazermos:

_ _ _ (...) _ _  $\rightarrow n~~positions$

   Em todos essas $n$ posições, podemos escolher $n$ caracteres para a primeira, $(n-1)$ para a segunda, e assim por diante até que reste apenas um caractere.

$P=n(n-1)(n-2)...(2)(1)\rightarrow P=n!$

   Denominamos essa operação com o nome de fatorial. Lê-se "n fatorial".

   2. Permutações com repetição:

   Observe o que acontece quando temos caracteres repetidos: analisaremos a sigla "AAB" e seus anagramas.

$AAB~/~ABA~/~BAA$

   Obtivemos 3 anagramas e isso é diferente de 3! anagramas... Mas por quê?

   Vamos diferenciar os A's:

$A_1A_2B~/~A_1BA_2~/~BA_1A_2~/~A_2A_1B~/~A_2BA_1~/~BA_2A_1$

   Temos aqui 6 anagramas e isso é igual a 3!.

   Concluímos, então, que quando existem caracteres iguais (repetidos) não podemos apenas permutá-los, pois existirão casos repetidos. Como forma de solucionar esse impasse, faremos:

$P_{R}=\dfrac{n!}{a!b!...k!}$

    Aqui, $n$ é o total de caracteres e $a$ é a quantidade de vezes um dado caractere se repete, $b$ é a quantidade de vezes que um segundo caractere se repete e assim por diante.

  Exemplo: AAB

$P_{R}=\dfrac{3!}{2!}\leftrightarrow P_{R}=3~anagramas.$

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   Vamos à questão.

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A) Permutação com repetição:

$P_R=\dfrac{9!}{2!3!2!}\leftrightarrow P_R=15\:120~anagramas.$

   9! pois temos 9 caracteres no total; 2! pelos I's repetidos; 3! pelos A's repetidos e 2! pelos R's repetidos.

B) Imposição de condições:

   Vamos impor que o anagrama começa com vogal e termina com vogal.

__/ (...) /__  ⇒ primeira e última posição.

1° Caso) Começa com i e termina com i:

   Fazendo isso, nas outras 7 posições teremos 7 caracteres disponíveis e com a repetição dos R's e dos A's, ou seja:

$P_R=\dfrac{7!}{3!2!}\leftrightarrow P_R=420~anagramas.$

2°Caso) Começa com a e termina com a:

   Ocorrerá quase da mesma forma, mas agora temos a repetição dos R's e dos I's e como caracteres distintos teremos: P, T e o A que restou (utilizamos 2).

$P_R=\dfrac{7!}{2!2!}\leftrightarrow P_R=1\:260~anagramas.$

3°Caso) Começa com a termina com i:

   Já foi feito em cima, a diferença é que os caracteres repetidos serão os R's e os A's. Isso ocorre pois restará para a permutação dos caracteres do meio somente 1 i, 1 t, 1 p.

$P_R=\dfrac{7!}{2!2!}\leftrightarrow P_R=1\:260~anagramas.$

4°Caso) Começa com i e termina com a:

   O resultado será o mesmo do 3° caso:

$P_R=1\:260~anagramas.$

   Logo, o total de anagramas que começam por vogal e terminam por vogal:

$E=420+3\cdot 1\:260\rightarrow E=4\:200~anagramas.$

C) Imposição: começar com consoante.

__/(...)   ⇒  primeira posição.

   Temos um total de 4 consoantes e uma delas aparece duas vezes.

1°Caso) Começam por P:

$P_R=\dfrac{8!}{3!2!2!}\leftrightarrow P_R=1\:680~anagramas$

   Aqui, estamos permutando os 8 caracteres restantes (primeiro fixo!) e excluindo as repetições dos A's, R's e I's.

2°Caso) Começam por T:

   Análogo ao 1° caso:

$P_R=\dfrac{8!}{3!2!2!}\leftrightarrow P_R=1\:680~anagramas$

3°Caso) Começam por R:

$P_R=\dfrac{8!}{3!2!}\leftrightarrow P_R=3\:360~anagramas$

   Aqui, nós não repetimos mais os R's visto que um deles assumiu a primeira posição. Logo, só houve repetição dos A's e dos I's.

   Total:

$F=1\:680\cdot 2+3\:360\leftrightarrow F=6\:720~anagramas.$

D) Começam por consoante e terminam em vogal:

   Vamos quase repetir o que foi feito no item C, contudo faremos a imposição do término por vogal. Observe:

1°Caso) Começam com P e terminam com A:

$P_R=\dfrac{7!}{2!2!2!}\leftrightarrow P_R=630~anagramas$

   Estamos permutando os 7 caracteres centrais com repetição dos R's, dos I's e dos A's que restaram.

2°Caso) Vamos começar com T e terminar com A:

   Análogo ao 1° caso,

$P_R=\dfrac{7!}{2!2!2!}\leftrightarrow P_R=630~anagramas$

3°Caso) Começando com R e terminando com A:

$P_R=\dfrac{7!}{2!2!}\leftrightarrow P_R=1\:260~anagramas$

   Estamos permutando os 7 centrais, porém agora não temos mais a repetição dos R's.

4°Caso) Começam com P e terminam com I:

$P_R=\dfrac{7!}{3!2!}\leftrightarrow P_R=420~anagramas$

   Repetição dos A's e dos R's.

5°Caso) Começam com T e terminam com I:

   Análogo ao 4° caso,

$P_R=\dfrac{7!}{3!2!}\leftrightarrow P_R=420~anagramas$

6°Caso) Começam com R e terminam com I:

$P_R=\dfrac{7!}{3!}\leftrightarrow P_R=840~anagramas$

   Temos as repetições apenas dos A's.

   Total:

$R=1\:260+1\:260+840+840\leftrightarrow R=4\:200~anagramas$

Saiba mais em:

https://brainly.com.br/tarefa/29680617

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Answer 2

Resposta:

Existem 15120 anagramas, dos quais 4200 começam e terminam por vogais, 6720 começam por consoante e 4200 começam por consoante e terminam em vogal.

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos relembrar alguns conceitos acerca de permutações com repetição e princípio fundamental da contagem.

Resolveremos cada uma separadamente, aplicando as fórmulas

a) Quantos são os anagramas da palavra PIRATARIA?

Como podemos ver, a palavra tem 9 letras, com repetição de 2 vogais (A aparece 3 vezes, I aparece 2 vezes) e de uma consoante (R aparece duas vezes).

A fórmula que utilizamos é dada por $P_n^{\alpha,~\beta,\cdots}=\dfrac{n!}{{\alpha}!\cdot{\beta}!\cdots}$, na qual $n$ representa o número de letras da palavra, $\alpha~e~\beta$ representam as quantidades de vezes que as letras se repetem.

Aplicando os valores na fórmula, ficamos com

$P_9^{3,2,2}=\dfrac{9!}{3!\cdot2!\cdot2!}$

Lembre-se que $n!=n\cdot(n-1)\cdots 1$, logo

$P_9^{3,2,2}=\dfrac{9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5!}{3\cdot2\cdot2\cdot2}$

Paramos em 5!, pois a partir da propriedade acima, já é possível simplificarmos a fração

$P_9^{3,2,2}=9\cdot2\cdot7\cdot5!$ (Aqui, aplique a propriedade de fatorial, assim $5!=120$)

$P_9^{3,2,2}=9\cdot2\cdot7\cdot120$

Multiplique os valores

$P_9^{3,2,2}=15120$

Este é o total de anagramas da palavra.

b) Quantos começam e terminam por vogal?

Para isso, separaremos os casos em começando e terminando em A; começando em A e terminando em I e começando e terminando em I.

Para o primeiro caso, ao fazer com que a primeira e a última letra sejam A, nos sobram 7 letras para permutarmos no meio da palavra, com repetição de I e R

Utilizando a fórmula de permutação aqui, ficamos com

$P_7^{2,2}=\dfrac{7!}{2!\cdot2!}$

Simplificando a fração, aplicando as propriedades, ficamos com

$P_7^{2,2}=1260$

Para o segundo caso, ao fazer com que a primeira letra seja A e a última seja I, nos sobram 7 letras, com repetição do restante de letras A e R. Logo:

$P_{7}^{2!2!}=\dfrac{7!}{2!\cdot2!}=1260$

Já calculamos esta permutação no exemplo anterior. Mas lembre-se que podemos ter o caso que começamos por I e terminamos em A. Neste caso o resultado equivale ao dobro das permutação que calculamos:

$2\cdot P_7^{2,2}=2520$

Por fim, o caso que a primeira e última letra são I. Teremos 7 letras permutáveis, com repetição de R e A.

$P_{7}^{3,2}=\dfrac{7!}{3!\cdot2!}$

Ficaremos com

$P_{7}^{3,2}=\dfrac{7\cdot6\cdot5!}{6\cdot2}=\dfrac{7\cdot120}{2}=420$

Somando todos os casos, teremos o resultado

$1260 + 2520 + 420 = 4200$

Este é o total de anagramas que começam e terminam por vogal.

c) Quantos começam por consoante?

Para isso, teremos os casos que começam por P ou T, pois haveriam repetições do R no restante do anagrama e os casos que começam por R.

Começando por P, teríamos 8 letras com repetição de 2 vogais e 1 consoante (A, I, e R)

$P_8^{3,2,2}=\dfrac{8!}{3!\cdot2!\cdot2!}$

Simplificando a fração, teremos

$P_8^{3,2,2}=\dfrac{8\cdot7\cdot6\cdot120}{6\cdot4}=1680$

Como T tem um caso semelhante, o total de casos que começam por P ou T são $2\cdot1680=3360$

Para o caso que começa em R, teríamos 8 letras permutáveis com repetição de 2 vogais

$P_8^{3,2}=\dfrac{8!}{3!\cdot2!}$

Simplifique a fração

$P_8^{3,2}=3360$

Somando os dois casos, encontramos quantos anagramas começam por consoante: $2\cdot3360=6720$

d) Quantos começam por consoante e terminam em vogal?

Aqui, teremos os casos que começam por P ou T e R, da mesma forma, mas alterando as vogais que se repetem no final.

Para o caso com P ou T terminando em A, teríamos 7 letras permutáveis com repetição de R, I e o restante das letras A, logo:

$P_7^{2,2,2}=\dfrac{7!}{2!\cdot2!\cdot2!}$

Simplifique a fração

$P_7^{2,2,2}=\dfrac{5040}{8}=630$

Multiplique por 2, pois as permutações que começam por T têm o mesmo resultado. Ficamos com: $2\cdot630=1260$

Agora, terminando em I, teríamos 7 letras permutáveis com repetição de R e as 3 letras A.

$P_7^{3,2}=\dfrac{7!}{3!\cdot2!}$

Já calculamos anteriormente este valor, e o multiplicaremos por 2 seguindo os passos acima: $2\cdot 420 =840$

Para finalizarmos, temos os casos que começam em R, terminando em A ou I.

No primeiro, existirão 7 letras permutáveis com repetição do restante de letras A e letras I, teremos

$P_7^{2,2}=\dfrac{7!}{2!\cdot2!}$

Já sabemos que $P_7^{2,2}=1260$

No segundo, existirão 7 letras permutáveis, com repetição de 3 letras A.

$P_7^3=\dfrac{7!}{3!}=840$

Somando todos os casos, ficamos com $2\cdot(1260+840)=4200$

Logo, em resposta às letras a), b), c) e d)

Existem 15120 anagramas, dos quais 4200 começam e terminam por vogais, 6720 começam por consoante e 4200 começam por consoante e terminam em vogal.