Question

Considere os anagramas formados a partir de CONQUISTA.
a- Quantos têm as letras CON juntas e nessas ordem?
b- Quantos apresentam a letra C antes da letra A ?

Answer 1

a)
Como as letras CON não podem permutar, temos 6 elementos restantes a se permutarem:

$6!=6\times5\times4\times3\times2\times1=720$

As letras CON podem se dispor nos seguintes lugares:

$\underbrace{\underline{\ \ \ }\ \underline{\ \ \ }\ \underline{\ \ \ }}\ \underline{\ \ \ }\ \underline{\ \ \ }\ \underline{\ \ \ }\ \underline{\ \ \ }\ \underline{\ \ \ }\ \underline{\ \ \ }\qquad\Bigg\vert\qquad\underline{\ \ \ }\ \underbrace{\underline{\ \ \ }\ \underline{\ \ \ }\ \underline{\ \ \ }}\ \underline{\ \ \ }\ \underline{\ \ \ }\ \underline{\ \ \ }\ \underline{\ \ \ }\ \underline{\ \ \ }$

$\underline{\ \ \ }\ \underline{\ \ \ }\ \underbrace{\underline{\ \ \ }\ \underline{\ \ \ }\ \underline{\ \ \ }}\ \underline{\ \ \ }\ \underline{\ \ \ }\ \underline{\ \ \ }\ \underline{\ \ \ }\qquad\Bigg\vert\qquad\underline{\ \ \ }\ \underline{\ \ \ }\ \underline{\ \ \ }\ \underbrace{\underline{\ \ \ }\ \underline{\ \ \ }\ \underline{\ \ \ }}\ \underline{\ \ \ }\ \underline{\ \ \ }\ \underline{\ \ \ }$

$\underline{\ \ \ }\ \underline{\ \ \ }\ \underline{\ \ \ }\ \underline{\ \ \ }\ \underbrace{\underline{\ \ \ }\ \underline{\ \ \ }\ \underline{\ \ \ }}\ \underline{\ \ \ }\ \underline{\ \ \ }\qquad\Bigg\vert\qquad\underline{\ \ \ }\ \underline{\ \ \ }\ \underline{\ \ \ }\ \underline{\ \ \ }\ \underline{\ \ \ }\ \underbrace{\underline{\ \ \ }\ \underline{\ \ \ }\ \underline{\ \ \ }}\ \underline{\ \ \ }$

$\underline{\ \ \ }\ \underline{\ \ \ }\ \underline{\ \ \ }\ \underline{\ \ \ }\ \underline{\ \ \ }\ \underline{\ \ \ }\ \underbrace{\underline{\ \ \ }\ \underline{\ \ \ }\ \underline{\ \ \ }}\qquad\Bigg\vert$

Como há sete lugares diferentes, a quantidade de anagramas com as letras CON juntas nessa ordem é:

$720\times7=\boxed{\boxed{8640}}$

b)
Neste caso, a letra C pode se dispor nas seguintes posições:
$\underline{C}\ \underline{\ \ }\ \underline{\ \ }\ \underline{\ \ }\ \underline{\ \ }\ \underline{\ \ }\ \underline{\ \ }\ \underline{\ \ }\ \underline{\ \ }\\\underline{\ \ }\ \underline{C}\ \underline{\ \ }\ \underline{\ \ }\ \underline{\ \ }\ \underline{\ \ }\ \underline{\ \ }\ \underline{\ \ }\ \underline{\ \ }\\\underline{\ \ }\ \underline{\ \ }\ \underline{C}\ \underline{\ \ }\ \underline{\ \ }\ \underline{\ \ }\ \underline{\ \ }\ \underline{\ \ }\ \underline{\ \ }\\\underline{\ \ }\ \underline{\ \ }\ \underline{\ \ }\ \underline{C}\ \underline{\ \ }\ \underline{\ \ }\ \underline{\ \ }\ \underline{\ \ }\ \underline{\ \ }\\\underline{\ \ }\ \underline{\ \ }\ \underline{\ \ }\ \underline{\ \ }\ \underline{C}\ \underline{\ \ }\ \underline{\ \ }\ \underline{\ \ }\ \underline{\ \ }\\\underline{\ \ }\ \underline{\ \ }\ \underline{\ \ }\ \underline{\ \ }\ \underline{\ \ }\ \underline{C}\ \underline{\ \ }\ \underline{\ \ }\ \underline{\ \ }\\\underline{\ \ }\ \underline{\ \ }\ \underline{\ \ }\ \underline{\ \ }\ \underline{\ \ }\ \underline{\ \ }\ \underline{C}\ \underline{\ \ }\ \underline{\ \ }\\\underline{\ \ }\ \underline{\ \ }\ \underline{\ \ }\ \underline{\ \ }\ \underline{\ \ }\ \underline{\ \ }\ \underline{\ \ }\ \underline{C}\ \underline{\ \ }$

Como a letra A deve vir depois da letra C: quando a letra C está disposta na primeira posição, há 8 posições para a letra A e 7! arranjos para as letras restantes (8×7!); quando a letra C está na segunda posição, há 7 posições para a letra A e 7! arranjos para as letras restantes (7×7!); quando a letra C está na terceira posição, há 6 posições para a letra A e 7! arranjos para as letras restantes (6×7!); e assim por diante.
Logo, a quantidade total de anagramas é:
$8\times7!+7\times7!+6\times7!+5\times7!+4\times7!+3\times7!+2\times7!+1\times7!=(8+7+6+5+4+3+2+1)\time7!=36\times5040=\boxed{\boxed{181440}}$