Question

Considere os anagramas formados a partir da palavra PIRATARIA

A) quantos são?

B) Quantos começam pela letra "A"

C) quantos começam por vogal?

D) quantos começam e terminam por vogal? ​

Answer 1

Para determinarmos o numero de anagramas de uma palavra, devemos primeiro fazer a contagem de letras da palavra de quantas vezes cada letra aparece.

A palavra PIRATARIA possui:

--> 9 letras

--> As letras "i" e "r" aparecem 2 vezes, a letra "a", 3 vezes e as demais apenas 1 vez.

Podemos agora determinar o numero total de anagramas (sem condições) utilizando a formulação:

$Total~de~Anagramas~=~\dfrac{(Numero~de~Letras)!}{x_1!~.~x_2!~...~x_n!}$

Na equação acima, x₁, x₂ ... são a quantidade de vezes que cada letra da palavra aparece.

Substituindo os dados na formulação, temos:

a)

$Total~de~Anagramas~=~\dfrac{9!}{2!~.~2!~.~3!~.~1!~.~1!}\\\\\\Perceba~os~dois~2!~representando~as~repeticoes~de~"i"~e~"r",~3!~as\\repeticoes~de~"a"~e~os~dois~1! representam~"p"~e~"t".\\\\\\Total~de~Anagramas~=~\dfrac{9~.~8~.~7~.~6~.~5~.~4~.~3~.~2~.~1}{2~.~2~.~3~.~2~.~1~.~1}\\\\\\\\\\Total~de~Anagramas~=~\dfrac{9~.~8~.~7~.~6~.~5~.~4\!\!\!\backslash~.~3\!\!\!\backslash~.~2\!\!\!\backslash~.~1}{4\!\!\!\backslash~.~3\!\!\!\backslash~.~2\!\!\!\backslash~.~1~.~1}\\\\\\\\\boxed{Total~de~Anagramas~=~15120}$

Obs.: Note que não é necessário colocar os 1! referentes as letras que não se repetem.

b)

Se começar por "a", teremos a seguinte situação:

$\underline{\,A\,}~\underbrace{\underline{~~~\,}~\underline{~~~\,}~\underline{~~~\,}~\underline{~~~\,}~\underline{~~~\,}~\underline{~~~\,}~\underline{~~~\,}~\underline{~~~\,}}_{8~letras,~2(a),~2(i),~2(r)}$

Perceba que agora~temos uma letra fixa (A), logo só poderemos "misturar" 8 letras e, dessas, temos repetidas as letras "a", "r" e "i" (2 vezes cada).

Aplicando a formulação, temos:

$Total~de~Anagramas~=~\dfrac{8!}{2!~.~2!~.~2!}\\\\\\\\Total~de~Anagramas~=~\dfrac{8~.~7~.~6~.~5~.~4~.~3~.~2~.~1}{2~.~2~.~2}\\\\\\\\Total~de~Anagramas~=~\dfrac{8~.~7~.~6~.~5~.~4\!\!\!\backslash~.~3~.~2\!\!\!\backslash~.~1}{4\!\!\!\backslash~.~2\!\!\!\backslash}\\\\\\\\\boxed{Total~de~Anagramas~=~5040}$

c)

Se começar por vogal, teremos as seguintes situações:

$\underline{\,A\,}~\underbrace{\underline{~~~\,}~\underline{~~~\,}~\underline{~~~\,}~\underline{~~~\,}~\underline{~~~\,}~\underline{~~~\,}~\underline{~~~\,}~\underline{~~~\,}}_{8~letras,~2(a),~2(i),~2(r)}\\\\\\ou\\\\\\\underline{\,I\,}~\underbrace{\underline{~~~\,}~\underline{~~~\,}~\underline{~~~\,}~\underline{~~~\,}~\underline{~~~\,}~\underline{~~~\,}~\underline{~~~\,}~\underline{~~~\,}}_{8~letras,~3(a),~1(i),~2(r)}$

Perceba que a primeira situação é semelhante a já calculada em (b), logo vamos nos ater a segunda situação.

Aplicando a formulação, temos:

$Anagramas~comecados~por~I~=~\dfrac{8!}{3!~.~2!~.~1!}\\\\\\\\Anagramas~comecados~por~I~=~\dfrac{8~.~7~.~6~.~5~.~4~.~3~.~2~.~1}{3~.~2~.~2}\\\\\\\\Anagramas~comecados~por~I~=~\dfrac{8~.~7~.~6~.~5~.~4\!\!\!\backslash~.~3\!\!\!\backslash~.~2~.~1}{4\!\!\!\backslash~.~3\!\!\!\backslash}\\\\\\\\\boxed{Anagramas~comecados~por~I~=~3360}$

Somando o numero de anagramas das duas situações, temos:

$Total~de~Anagramas~=~5040~+~3360\\\\\\\boxed{Total~de~Anagramas~=~8400}$

d)

Se começar e terminar por vogal, teremos as seguintes situações:

$\underline{\,A\,}~\underbrace{\underline{~~~\,}~\underline{~~~\,}~\underline{~~~\,}~\underline{~~~\,}~\underline{~~~\,}~\underline{~~~\,}~\underline{~~~\,}}_{7~letras,~1(a),~2(i),~2(r)}~\underline{\,A\,}\\\\\\ou\\\\\\\underline{\,A\,}~\underbrace{\underline{~~~\,}~\underline{~~~\,}~\underline{~~~\,}~\underline{~~~\,}~\underline{~~~\,}~\underline{~~~\,}~\underline{~~~\,}}_{7~letras,~2(a),~1(i),~2(r)}~\underline{\,I\,}\\\\\\ou$

$\underline{\,I\,}~\underbrace{\underline{~~~\,}~\underline{~~~\,}~\underline{~~~\,}~\underline{~~~\,}~\underline{~~~\,}~\underline{~~~\,}~\underline{~~~\,}}_{7~letras,~2(a),~1(i),~2(r)}~\underline{\,A\,}\\\\\\ou\\\\\\\underline{\,I\,}~\underbrace{\underline{~~~\,}~\underline{~~~\,}~\underline{~~~\,}~\underline{~~~\,}~\underline{~~~\,}~\underline{~~~\,}~\underline{~~~\,}}_{7~letras,~3(a),~0(i),~2(r)}~\underline{\,I\,}$

Calculando cada uma das situações, temos:

$Anagramas~A...A~=~\dfrac{7!}{1!~.~2!~.~2!}\\\\\\\\Anagramas~A...A~=~\dfrac{7~.~6~.~5~.~4~.~3~.~2~.~1}{2~.~2}\\\\\\\\\boxed{Anagramas~A...A~=~1260}$

$Anagramas~A...I~=~\dfrac{7!}{2!~.~1!~.~2!}\\\\\\\\Anagramas~A...I~=~\dfrac{7~.~6~.~5~.~4~.~3~.~2~.~1}{2~.~2}\\\\\\\\\boxed{Anagramas~A...I~=~1260}$

$Anagramas~I...I~=~\dfrac{7!}{3!~.~0!~.~2!}\\\\\\\\Anagramas~I...I~=~\dfrac{7~.~6~.~5~.~4~.~3~.~2~.~1}{3~.~2~.~1~.~2}\\\\\\\\\boxed{Anagramas~I...I~=~420}$

$Anagramas~I...A~=~\dfrac{7!}{2!~.~1!~.~2!}\\\\\\\\Anagramas~I...A~=~\dfrac{7~.~6~.~5~.~4~.~3~.~2~.~1}{2~.~1~.~2}\\\\\\\\\boxed{Anagramas~I...A~=~1260}$

Somando-se, temos o total de anagramas:

$Total~de~Anagramas~=~1260~+~1260~+~1260~+~420\\\\\\\boxed{Total~de~Anagramas~=~4200}$