Matemática, perguntado por afonsopedro29n, 11 meses atrás

Considere os anagramas da palavra PROFESSOR:
a) quantos são?
b)quantos começam por P?
c)quantos começam por R?
d) quantos começam por vogal?

Soluções para a tarefa

Respondido por mateusrdp2014
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Um anagrama não passa de um rearranjo das letras. Então, podemos considerar que temos as seguintes letras para montar uma palavra: P, R, O, F, E, S, S, O, R. São 9 letras, com algumas repetidas: 2R, 2S, 2O.


a) Para a primeira letra, temos 9 opções; para a segunda, sobram 8; para a terceira, sobram 7; e assim por diante, então temos 9!. Porém, algumas letras são iguais. Temos 2R, então para cada palavra a R b R c, nós contamos tanto a R1 b R2 c quanto a R2 b R1 c. Ou seja, contamos duas vezes mais palavras do que deveríamos, então dividimos o resultado por 2. Para o S e O a mesma coisa.

9!/(2*2*2)=9!/8

Note que se alguma dessas letras se repetisse 3 vezes, dividiríamos por 3!=6. É fácil perceber isso:

a R1 b R2 c R3 d

a R1 b R3 c R2 d

a R2 b R1 c R3 d

a R2 b R3 c R1 d

a R3 b R1 c R2 d

a R3 b R2 c R1 d

Para 4 letras iguais, seria 4!, e assim vai...

Resposta: 9!/8


b) Começando por P, temos uma letra fixa e sobram 8; dentre elas, três se repetem duas vezes. Então, são 8!/(2*2*2)=8!/8=7!


c) Começando por R, temos uma letra fixa e sobram 8; dentre elas, duas se repetem duas vezes. Então, são 8!/(2*2)=8!/4


d) Temos 3 vogais: O, E, O.

Fixamos o O; sobram 8 letras, dentre as quais duas se repetem; temos 8!/4.

Fixamos o E; sobram 8 letras, dentre as quais três se repetem; temos 8!/8=7!


Note que tanto faz se fixarmos o primeiro O ou o segundo O. As palavras geradas são iguais, então nós só contamos uma vez (ou seja, o resultado para o O não é 2*8!/4, e sim apenas 8!/4).


Portanto, são 7!+8!/4 palavras.


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afonsopedro29n: Só não entendi a última, pode me explicar melhor?
mateusrdp2014: != fatorial, portando 7!+8!/4= 7x6x5x4x3x2x1x8x7x6x5x4x3x2x1=43560/4=15120
mateusrdp2014: Resultado final =15120
afonsopedro29n: Tendi, vlw
mateusrdp2014: Blz
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