considere o triângulo retângulo cujos catetos medem p e q. sabendo que p+q=64, obtenha os valores de p e q para que a área do triângulo seja máxima. Qual o valor dessa área?
Soluções para a tarefa
S (área máxima) = ?
b (base) = p = 64 - q
h (altura) = q = 64 - p
S = b.h/2
S = p.q/2
S = (p(64 - p))/2
S = (64p - p²)/2
S = 32 p - (1/2)p²
S = (-1/2)p² + 32p
Pela equação (S = (- 1/2)p² + 32p) encontramos que:
a = (- 1/2)
b = 32
Como "a" é negativo, o gráfico terá uma parábola com concavidade para baixo. Sabemos também que o máximo da parábola é em sua vértice, portanto, podemos dizer que (p = - b/2a), sendo assim, temos que:
p = - b/2a
p = - 32/2.(- 1/2)
p = - 32/- 2/2
p = - 32/- 1
p = 32
Se a questão diz que p + q = 64 e encontramos que p = 32, q também será 32, pois 32 + 32 = 64.
Substituindo p = 32 na equação que econtramos de S = (-1/2)p² + 32p
S = (- 1/2)*32² + 32.32
S = (- 1/2)*1024 + 1024
S = - 512 + 1024
S = 512 (área máxima)
Concluímos que o valor da área é de 512.