Question

considere o triângulo retângulo ABD exibido na figura abaixo, em que AB=2cm, BC= 1 cm e CD= 5 cm. Então, o ângulo ø é igual a


a) 15

b) 30

c) 45

d)69

Answer 1

Considere que o ângulo BAC é igual a α.

Para calcular o valor do ângulo θ utilizaremos a tangente da soma, cuja fórmula é:

$tg(\alpha + \theta) = \frac{tg(\alpha) + tg(\theta)}{1-tg(\alpha).tg(\theta)}$

De acordo com a figura, temos que:

$tg(\alpha + \theta) = \frac{6}{2} = 3$

e

$tg(\alpha) = \frac{1}{2}$

Substituindo esses dois valores encontrados na fórmula da tangente da soma:

$3 = \frac{\frac{1}{2}+tg(\theta)}{1 - \frac{tg(\theta)}{2}}$

Multiplicando cruzado:

$3 - \frac{3tg(\theta)}{2} = \frac{1}{2} + tg(\theta)$

Multiplicando a equação por 2:

6 - 3tg(θ) = 1 + 2tg(θ)

5tg(θ) = 5

tg(θ) = 1

Portanto, θ = 45°.

Alternativa correta: letra c).

Answer 2

Tem como chegar na resposta de forma bem simples, eu garanto.

Pensa comigo: geralmente, quando a questão me dá triângulo cortado/atravessado por uma reta, isso quase sempre vai me permitir separar o triângulo menor do maior.

Nos dois, eu vou ter que achar o valor da hipotenusa. No pequenino, os catetos ficaram 2 cm e 1 cm. Vamos meter o pith neles:

${x}^{2} = {2}^{2} + {1}^{2}$

${x}^{2} = 4 + 1$

$x = \sqrt{5}$

No grande, faço a mesma coisa:

lembrando que uma parte do triângulo é 1 e a outra é 5 bem embaixo, tá vendo? É só somar e descobrir o total que dá 6. Vamos meter o pith:

${x}^{2} = {2}^{2} + {6}^{2}$

${x}^{2} = 4 + 36 = 40$

$x = \sqrt{40} = \sqrt{4 \times 10} = 2 \sqrt{10}$

Pronto, agora vamos com calma. Lembra da lei do cosseno? Então, vamos lá!

${cd}^{2} = {ac}^{2} + {ad}^{2} - 2 \times ac \times ad \times \cos( \alpha )$

${5}^{2} = ( \sqrt{5})^{2} + (2 \sqrt{10} )^{2} - 2 \times \sqrt{5} \times 2 \sqrt{10} \times \cos( \alpha )$

Agora, é só continha. Quando você fizer tudo, vais chegar nisso aqui:

$\cos( \alpha ) = \frac{20}{20 \sqrt{2} }$

Racionalizando e blá-blá-blá fica:

$\cos( \alpha ) = \frac{ \sqrt{2} }{2}$

Lembra dos ângulos notáveis? Isso aí só pode ser Cos45°, pois equivale a

$\frac{ \sqrt{2} }{2}$

Bons estudos!