Question

Considere o triângulo formado pelos pontos do gráfico a seguir, que correspondem à intersecção das retas:

→ Em Anexo

Pode-se afirmar que a área desse triângulo é:

A) 17√2
B) 20.
C) 17.
D) 10.
E) 10√2.​

Answer 1

Pode-se afirmar que a área desse triângulo é igual a 17 un, correspondendo à alternativa c) 17.

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Considerações

A área do triângulo no gráfico pode ser encontrada calculando-se a metade do módulo do determinante. Veja a fórmula resolutiva abaixo.

                                                  $\Large\qquad\qquad\boldsymbol{\begin{array}{l}A_{\triangle}=\dfrac{|D|}{2}\end{array}}$

A razão de trabalharmos com o módulo é só para garantir que o resultado seja positivo, uma vez que estamos falando de área.

Sobre o determinante, ele é construído a partir das coordenadas de três pontos que formam os vértices do triângulo. Digamos que temos um triângulo com vértices M(xₘ , yₘ), N(xₙ , yₙ) e O(xₒ , yₒ), então para calcular o determinante tendo esses três pontos basta colocar as coordenadas:

• do ponto M como os dois primeiros elementos da primeira linha;
• do ponto N como os dois primeiros elementos da segunda linha;
• do ponto O como os dois primeiros elementos da terceira linha.

E por fim basta completar a terceira coluna com números um. Assim temos que esse determinante possui a seguinte característica:

                                          $\Large\quad\boldsymbol{\begin{array}{l}D=\left|\begin{array}{ccc}x_m&y_m&1\\x_n&y_n&1\\x_o&y_o&1\end{array}\right|\end{array}}$

Voltando à questão

No gráfico em anexo da sua tarefa vemos um triângulo formado pelos vértices (1 , 0), (4 , 5) e (9 , 2). Se desejamos encontrar sua área, então com base no que eu havia dito na explicação acima, temos a relação:

$\\\large\boldsymbol{\begin{array}{l}D=\left|\begin{array}{ccc}1&0&1\\4&5&1\\9&2&1\end{array}\right|\end{array}}$

E para calcular isso nós usamos a Regra de Sarrus, que consiste em repetir as duas primeiras colunas, fazer a soma do produto da diagonal principal e subtrair da soma do produto da diagonal secundária:

$\\\large\boldsymbol{\begin{array}{l}D=\left|\begin{array}{ccc}1&0&1\\4&5&1\\9&2&1\end{array}\right|\,\begin{matrix}1&0\\4&5\\9&2\end{matrix}\\\\D=1\cdot5\cdot1+0\cdot1\cdot9+1\cdot4\cdot2-(1\cdot5\cdot9+1\cdot1\cdot2+0\cdot4\cdot1)\\\\D=5+0+8-(45+2+0)\\\\D=13-(47)\\\\D=13-47\\\\\!\boxed{D=-\,34}\end{array}}$

Por fim, substituindo seu valor na fórmula resolutiva obtemos:

$\\\large\boldsymbol{\begin{array}{l}A_{\triangle}=\dfrac{|D|}{2}\\\\A_{\triangle}=\dfrac{|-34|}{2}\\\\A_{\triangle}=\dfrac{34}{2}\\\\\!\boxed{A_{\triangle}=17\,un.}\end{array}}$

R: portanto, a área desse triângulo é igual a 17 unidades, correspondendo à alternativa c) 17.

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$\!\!\!\!\Large\begin{array}{l}\beta\gamma~N\alpha sg\theta v\alpha sk\theta v\\\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}$

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