Question

Considere o triângulo de vértices A= (2, 1), B = (4, 3) e C = (6, 2).A equação da circunferência de área igual a desse triângulo e com centro no baricentro dele mesmo, é:

Answer 1

Resposta

π/3 • [(x-4)² + (y-2)²] = 1

RESOLUCAO:

Area do Triangulo é bh/2

se o triangulo for retangulo, bh = produto dos catetos.

vamos verificar se há algum lado perpendicular a outro.

Sejam:

• ma = coeficiente angular do lado AB
• mb = coeficiente angular do lado BC
• mc = coeficiente angular do lado CA

vamos verificar se

     ma•mb = -1, ou ma•mc = -1 ou mb•mc = -1

Calculo de ma

A(2,1), B(4,3)

ma = (3 - 1) / (4 - 2)

ma = 2 / 2

ma = 1

Calculo de mb

B(4,3), C(6,2)

mb = (2 - 3)/(6 - 4)

mb = -1/2

Calculo de mc

A(2,1), C(6,2)

mc = (2 - 1)/(6 -2)

mc = 1/4

ma•mb = -1/2 ≠ -1

mb•mc = -1/8 ≠ -1

ma•mc = -1/4 ≠ -1

logo o triangulo nao é retangulo

Vamos calcular entao um segmento de reta AH ⊥ BC

mh•mb = -1

mh = -1 /(-1/2)

mh = 2

Reta h: y = 2x + c (reta do segmento AH)

a reta h passa pelo ponto A(2,1)

1 = 2 (2) + c

1 = 4 + c

c = -3

entao h: y = 2x - 3

Reta b: y = -x/2 + c  (reta do segmento BC)

reta b passa pelo ponto B(4,3)

3 = -4/2 + c

c = 5

b: y = -x/2 + 5

Agora vamos achar o ponto H, que pertence as retas h e b

-x/2 + 5 = 2x - 3

2x + x/2 = 5 + 3

5x/2 = 8

x = 16/5

y = 2(16/5) - 3

y = 17/5

H(16/5 , 17/5)

Agora vamos calcular os tamanhos dos segmentos AH e BC para calcular a area A = BC•AH/2

B(4,3), C(6,2)

BC² = (6 - 4)² + (2 - 3)²

BC² = 4 + 1

BC = √5

A(2,1) H(16/5, 17/5)

AH² = (16/5 - 2)² + (17/5 - 1)²

AH² = (6/5)² + (12/5)²

AH² = (36+144)/25

AH = √(180/25)

AH = √(36/5)

AH = 6/√5 = 6/5 √5

Logo a Area A = (√5 • 6/√5)/2 = 6/2

A = 3

Agora vamos calcular o centro da circunferencia que fica no baricentro do triangulo, ou seja, no encontro de suas medianas...

Seja M, o ponto central do lado BC

Seja N, o ponto central do lado AC

Seja P, o ponto central do lado AB

O é o ponto de encontro das retas que formam os segmentos AM, BN e CP

ponto M = (xb+xc)/2, (yb+yc)/2

B(4,3), C(6,2)

xM = (6+4)/2 = 5

yM = (2+3)/2 = 5/2

M(5, 5/2)

seja reta m': y = ax + c

a = (yA - YM) / (xA - XM)

a = (1 - 5/2)/(2 - 5)

a = (-3/2)/(-3)

a = 1/2

y = x/2 + c

1 = 2/2 + c

c = 0

m': y = x/2

vamos fazer a mesma coisa para BN

xN = (xA +xC)/2 = (2+6)/2

xN = 4

yN = (yA +yC) /2 = (1+2)/2

yN = 3/2

N(4, 3/2)

observe que xN = xB, portanto o segmento BN é paralelo ao eixo y, em x = 4

entao usando m': y = x/2 podemos dizer que o baricentro do triangulo esta no ponto O(4,y)

y = x/2 = 4/2

y = 2

O(4,2)

Vamos verificar?

OM = 1/3 AM

M(5, 5/2)

AM² = (5-2)² + (5/2 -1)²

AM² = 9 + 9/4

AM² = 45/4

AM = 3/2√5

OM = √5 /2

5/4 = (4 - 5)² + (2 - 5/2)²

5/4 = 1 + 1/4

5/4 = 5/4 ⇒ OK

Vamos em frente,

Ja temos, a Area e o centro da circunferencia

A = 3

O(4,2)

A formula da circunferencia é dada por:

(x - xo)² + (y - yo)² = R²

(x-4)² + (y-2)² = R²

mas A = 3 = πR²

R² = 3/π

(x-4)² + (y-2)² = 3/π

π/3 • [(x-4)² + (y-2)²] = 1