Question

Considere o triângulo ABC definido pelos vetores AB=(4,1,-6) e AC=(0,-6,7).
a) Determine a área do triângulo ABC.
b) Determine a altura há relativa ao vértice A do triângulo ABC.
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Answer 1

A área do triângulo ABC é √2201/2 unidades de área; A altura relativa ao vértice A do triângulo ABC é √57226/78.

a) Vamos calcular o produto vetorial entre os vetores AB = (4,1,-6) e AC = (0,-6,7):

AB x AC = i(1.7 - (-6).(-6)) - j(4.7 - 0.(-6)) + k(4.(-6) - 0.1)

AB x AC = -29i - 28j - 24k

AB x AC = (-29,-28,-24)

Agora, devemos calcular a norma do vetor AB x AC:

||AB x AC||² = (-29)² + (-28)² + (-24)²

||AB x AC||² = 841 + 784 + 576

||AB x AC||² = 2201

||AB x AC|| = √2201.

Portanto, a área do triângulo ABC é igual a:

S = √2201/2 unidades de área.

b) Sabemos que a área de um triângulo é igual a metade do produto da base pela altura.

Vamos considerar que h é a altura relativa à base BC.

Sabemos que AB + BC = AC, então:

(4,1,-6) + BC = (0,-6,7)

BC = (0,-6,7) - (4,1,-6)

BC = (-4,-7,13).

Calculando a norma de BC:

||BC||² = (-4)² + (-7)² + 13²

||BC||² = 16 + 49 + 169

||BC||² = 234

||BC|| = 3√26.

Portanto, a medida da altura é igual a:

√2201/2 = 3√26.h/2

√2201 = 3√26.h

h = √2201/3√26

h = √57226/78.