Question

Considere o triângulo ABC, com A (1,1), B (5,3) e C (3,8); sejam M e N, respectivamente, os pontos médios de AC e BC.a) Escreva a equação da reta suporte que contém MN.b) Determine a medida do segmento MN.Encontrei para os pontos M e N, (2,9/2) e (4,11/2), respectivamente. Não estou conseguindo encontrar a equação da reta, a qual o resultado é x-2y+7=0. Alguém poderia resolver essa parte para mim? E creio que a medida do segmento eu posso obter por d²=Δy²+Δx², correto?

Answer 1

Vamos lá!

Primeiramente, vamos calcular o ponto médio entre AC e BC;

$M(ac)= \frac{Xa+Xc}{2}, \frac{Ya+Yc}{2}\\\\ M(ac)= \frac{1+3}{2}, \frac{1+8}{2}\\\\ M(ac)= \frac{4}{2}, \frac{9}{2}\\\\ M(ac)= 2, \frac{9}{2}\\\\\\ M(bc)= \frac{Xb+Xc}{2}, \frac{Yb+Yc}{2}\\\\ M(bc)= \frac{5+3}{2}, \frac{3+8}{2}\\\\ M(bc)= \frac{8}{2}, \frac{11}{2}\\\\ M(bc)= 4, \frac{11}{2}$

Agora, vamos calcular a reta suporte de MN. Primeiramente, vamos encontrar o coeficiente angular, e depois iremos substituir os valores, que já temos, dentro da equação fundamental da reta; 

$M= \frac{Yn-Ym}{Xn-Xm} \\\\ M= \frac{\frac{11}{2}- \frac{9}{2}}{4-2} \\\\ M= \frac{ \frac{11-9}{2}}{4-2} \\\\ M= \frac{ \frac{2}{2}}{2}\\\\ M= \frac{1}{2} \\\\\\ Y-Yo=M(X-Xo)\\ Y- \frac{9}{2}= \frac{1}{2}(X-2)\\ 2(Y- \frac{9}{2})=1(X-2)\\ 2Y \frac{-18}{2}=X-2\\ 2Y-9=X-2\\ X-2Y-2+9=0\\ X-2Y+7=0$

B)
Sim, d²=Δx²+Δy² é a fórmula para calcular a distância entre dois pontos. Portanto;

$d^{2}=(Xn-Xm)^{2} +(Yn-Ym)^{2} \\ d^{2}=(4-2)^{2} +(\frac{11}{2}- \frac{9}{2} )^{2})\\ d^{2}=2^{2} +(\frac{11}{2}- \frac{9}{2})^{2}\\ d^{2}=2^{2} +(\frac{11-9}{2})^{2}\\ d^{2}=4 +(\frac{2}{2})^{2}\\ d^{2}=4 +1^{2}\\ d^{2}=4 +1\\ d^{2}=5\\ d= \sqrt{5}$