Question

Considere o triângulo ABC abaixo:

Sabe-se que AĈD = 90°, AD̂C = 60° , AB̂C = 45° e DB̅̅̅̅ = 80cm.
O valor do lado AC̅̅̅̅ é igual a
a) 10(√3 + 1)
b) 10(√3 + 3)
c) 40(√3 + 3)
d) 80(√3 + 1)

Answer 1

eu não vou conseguir mandar uma foto do meu diagrama aqui, foi mal

acompanha a solução com um desenho do triângulo pra entender

Resposta:

c) 40(√3 + 3)

Explicação passo a passo:

como temos ângulos e lados, vamos usar trigonometria pra resolver.

pra facilitar, vou chamar o lado AC de x, e o lado CD de y.

repara no triângulo ACD. o enunciado fala que o ângulo AD̂C vale 60º.

assim:

$x/y = \tan 60\\\\x/y = \sqrt3$

de forma análoga, no triângulo ABC, o ângulo AB̂C é 45º. assim:

$x /(80+y) = \tan 45\\x/(80 + y) = 1\\\\x = 80 + y$

agora temos duas incógnitas, e duas equações. basta resolver o sistema:

1) $x / y = \sqrt3$

2) $x = 80 + y$

isolando y na primeira equação:

$x/y = \sqrt3\\x = y\sqrt3\\y = x/\sqrt3$

racionalizando:

$y = (x\sqrt3) / 3$

substituindo y na segunda equação:

$x = 80 + (x\sqrt3)/3\\3x = 240 + x\sqrt3\\3x - x\sqrt3 = 240\\x(3 - \sqrt3) = 240\\\\x = 240 / (3 - \sqrt3)$

racionalizando:

$x = (240(3 + \sqrt3)) / 6\\\\x = 40(3 + \sqrt3)$