Question

Considere o sólido definido pelas superfícies: $R_{1} \leq x^{2}+ y^{2} \leq R_{2}, 0 \leq Z \leq H$. Determine a coordenada Z do centro de massa deste sólido. Considere densidade constante igual a C.

Answer 1

En coordenadas cilíndricas se tiene
  
             $\displaystyle \overline{z}=\dfrac{\iiint\limits_{S}rz\cdot C\,dr\,d\theta\, dz}{\iiint\limits_{S} C\,dr\,d\theta\, dz}\\ \\ \\ \overline{z}=\dfrac{C\iiint\limits_{S}rz\,dr\,d\theta\, dz}{C\iiint\limits_{S} r\,dr\,d\theta\, dz}\\ \\ \\ \overline{z}=\dfrac{\iiint\limits_{S}rz\,dr\,d\theta\, dz}{\iiint\limits_{S} r\,dr\,d\theta\, dz}$
        
                               $\overline{z}=\dfrac{\int\limits_{\sqrt{R_1}}^{\sqrt{R_2}}\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{H}rz\,dz\,d\theta\, dr}{\int\limits_{\sqrt{R_1}}^{\sqrt{R_2}}\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{H}r\,dz\,d\theta\, dr}$
             
                 $\overline{z}=\dfrac{\int\limits_{\sqrt{R_1}}^{\sqrt{R_2}}\int\limits_{0}^{H}rz\,dz\, dr}{\int\limits_{\sqrt{R_1}}^{\sqrt{R_2}}\int\limits_{0}^{H}r\,dz\,dr}\\ \\ \\ \overline{z}=\dfrac{\int\limits_{\sqrt{R_1}}^{\sqrt{R_2}}r\,dr\cdot \int\limits_{0}^{H}z\,dz}{ H\int\limits_{\sqrt{R_1}}^{\sqrt{R_2}}r\,dr}\\ \\ \\ \overline{z}=\dfrac{\int\limits_{0}^{H}z\,dz}{ H}\\ \\ \\ \boxed{\overline{z}=\dfrac{H}{2}}$
 

Answer 2

Resposta:

H/2

Explicação passo a passo: