Question

Considere o sistema mecânico posto em movimento e controlado por uma força excitadora do tipo impulso μ(t)=1. Determine a resposta transitória da aplicação da entrada de força. Suponha que o sistema está inicialmente em repouso e que o coeficiente de atrito seco pode ser considerado nulo. (Para condições iniciais nulas) os valores dos parâmetros são:
Massa (m) = 10 Kg;
Rigidez (K) = 200 N/m;
Vetor tempo (t) = 0:0,1:5;

Answer 1

O diagrama equivalente desse problema é mostrado nas figuras em anexo.

Nesse caso, $f(t)$ é a força externa que excita o sistema mecânico, $f_v$ é o coeficiente da força de atrito que se opõe ao movimento do bloco, $M$ é a massa do bloco e $K$ é a constante da mola.

Três forças se opõe a força do impulso de entrada, são elas:

1. A força da mola $f_m(t) = K \cdot x(t)$

2. A força de atrito: $f_a(t) = f_v \cdot \dfrac{dx(t)}{dt}$

3. A inércia do bloco: $f_i(t) = M \cdot \dfrac{d^2x(t)}{dt^2}$

Assim sendo:

$f(t) = f_m(t) + f_a(t) + f_i(t)$

ou:

$f(t) = K \cdot x(t) +  f_v \cdot \dfrac{dx(t)}{dt} + M \cdot \dfrac{d^2x(t)}{dt^2}$

Aplicando a Transformada de Laplace:

$\mathcal{L}\left[f(t)\right]= K \cdot \mathcal{L}\left[x(t)\right] +  f_v \cdot \mathcal{L}\left[\dfrac{dx(t)}{dt}\right] + M \cdot \mathcal{L}\left[\dfrac{d^2x(t)}{dt^2}\right]$

Iremos para o domínio de Laplace:

$F(s) = K \cdot X(s) +  f_v \cdot \left(s \cdot X(s) - x(0)\right) + M \cdot \left(s^2 \cdot X(s) - s \cdot x(0) - x'(0)\right)$

Agrupando os termos com $X(s)$:

$F(s) = X(s) \cdot \left(M \cdot s^2 + f_v \cdot s + K \right) - x(0) \cdot (M \cdot s + f_v) - M \cdot x'(0)$

Como temos condições iniciais nulas:

$F(s) = X(s) \cdot \left(M \cdot s^2 + f_v \cdot s + K \right)$

Isolando $X(s)$:

$X(s) = F(s) \cdot \dfrac{1}{M \cdot s^2 + f_v \cdot s + K}$

Dividindo numerador e denominador por $M$:

$X(s) = F(s) \cdot \dfrac{\dfrac{1}{M}}{s^2 + \dfrac{f_v}{M} \cdot s + \dfrac{K}{M}}$

Sabendo que o sinal de entrada é um impulso unitário e a transformada de Laplace do impulso é 1:

$X(s) = \dfrac{1}{M} \cdot \dfrac{1}{s^2 + \dfrac{f_v}{M} \cdot s + \dfrac{K}{M}}$

Então podemos retornar ao domínio do tempo através da transformada Inversa de Laplace:

$\mathcal{L}^{-1}\left[X(s)\right] = \dfrac{1}{M} \cdot \mathcal{L}^{-1}\left[\dfrac{1}{s^2 + \dfrac{f_v}{M} \cdot s + \dfrac{K}{M}}\right]$

Vamos substituir os valores dados pelo enunciado:

$x(t) = \dfrac{1}{10} \cdot \mathcal{L}^{-1}\left[\dfrac{1}{s^2 + \dfrac{0}{10} \cdot s + \dfrac{200}{10}}\right]$

$x(t) = \dfrac{1}{10} \cdot \mathcal{L}^{-1}\left[\dfrac{1}{s^2 + 20}\right]$

Sabendo que:

$\mathcal{L}^{-1}\left[\dfrac{a}{s^2 + a^2}\right] = sen(a \cdot t)$

Teremos:

$x(t) = \dfrac{1}{10} \cdot \mathcal{L}^{-1}\left[\dfrac{\dfrac{\sqrt{20}}{\sqrt{20}}}{s^2 + \sqrt{20}^2}\right]$

$x(t) = \dfrac{1}{10} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{20}} \cdot sen(\sqrt{20} \cdot t)$

$x(t) = \dfrac{1}{\sqrt{100} \cdot \sqrt{20}} \cdot sen(\sqrt{20} \cdot t)$

$\boxed{x(t) = \dfrac{1}{\sqrt{2000}} \cdot sen(\sqrt{20} \cdot t)}$

A terceira figura em anexo representa a resposta transitória desse sistema.

Pelo Matlab:

t = 0:0.1:5;

y = (1/sqrt(2000))*sin(sqrt(20).*t);

plot(t,y)

xlabel('Tempo (s)'); ylabel('Deslocamento (m)');

title('Resposta ao Impulso de Sistema Massa-Mola');