Question

considere o sistema linear com três equações e três incógnitas;
8x + 4y - 6z = 6
4x - 2y + 10z= 20
-10x -4y + 4z = - 14
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Answer 1

Ao resolver o sistema linear dado, descobrimos que

$x=-\dfrac{1}{2}$

$y=\dfrac{320}{20}=16$

$z=9$

Vamos resolver o seguinte sistema linear

$\begin{Bmatrix} </p><p>8x&+4y&-6z&=&6\\</p><p>4x&-2y&+10z&=&20\\</p><p>-10x&-4y&+4z&=&-14\\</p><p> \end{matrix}$

O primeiro passo que faremos será dividir a primeira equação pelo numero 2 obtendo assim o seguinte sistema:

$\begin{Bmatrix} </p><p>4x&+2y&-3z&=&3\\</p><p>4x&-2y&+10z&=&20\\</p><p>-10x&-4y&+4z&=&-14\\</p><p> \end{matrix}$

Agora vamos preparar o sistema para eliminar a variável x na segunda e terceira linha.

Para isso, vamos procurar o mínimo múltiplo comum entre os coeficientes da variável x. Em seguida, colocaremos os coeficientes de x na segunda e terceira linha como negativos:

Assim teremos o seguinte sistema:

$\begin{Bmatrix} </p><p>20x&+10y&-15z&=&15\\</p><p>-20x&+10y&-50z&=&-100\\</p><p>-20x&-8y&+8z&=&-28\\</p><p> \end{matrix}$

Soando a primeira linha na segunda linha ( e a primeira linha na terceira linha) teremos:

$\begin{Bmatrix} </p><p>20x&+10y&-15z&=&15\\</p><p>0&+20y&-65z&=&-85\\</p><p>0&+2y&-7z&=&-13\\</p><p> \end{matrix}$

Vamos agora multiplicar a terceira linha por - 10 para preparar a próxima eliminacao de variaveis:

$\begin{Bmatrix} </p><p>20x&+10y&-15z&=&15\\</p><p>0&+20y&-65z&=&-85\\</p><p>0&-20y&+70z&=&+130\\</p><p> \end{matrix}$

Somando agora a segunda linha na terceira, teremos:

$\begin{Bmatrix} </p><p>20x&+10y&-15z&=&15\\</p><p>0&+20y&-65z&=&-85\\</p><p>0&+0y&+5z&=&+45\\</p><p> \end{matrix}$

Temos então as seguintes equações resultantes:

Para a variável z, obtemos:

$5z=45 \implies z=9$

Substituindo z na equação 2, obtemos y:

$20y-65z=-85\\20y=65z-85\\y=\dfrac{65\times9-85}{20}=\dfrac{320}{20}=16$

Por fim, vamos obter a variável x

$20x+10y-15z=15\\20x=15+15z-10y\\x=\dfrac{15+15\times9-10\times16}{20}=-\dfrac{10}{20}=-\dfrac{1}{2}$