Question

Considere o sistema linear abaixo:

$\left\{\begin{array}{lll}\mathsf{x+y+z=6}\\\mathsf{x-y+z=4}\\\mathsf{x-y-z=3}\end{array}\right$

a) Verifique se o sistema possui solução.

b) Determine seu conjunto solução (se houver).

Answer 1

$\large \begin{cases} \sf x+y+z=6 \qquad \textcircled {1} \\ \sf x-y+z=4 \qquad \textcircled {2} \\ \sf x-y-z=3 \qquad \textcircled {3} \end{cases}$

• Some as equações ① e ③ membro a membro.

x + y + z = 6 ①

x − y − z = 3 ③

2x = 9   ① + ③

x = 9/2

• Subtraia a equação ② da ①.

x + y + z = 6 ①

x − y + z = 4 ②

2y = 2   ① − ②

y = 1

• Subtraia a equação ③ da ②.

x − y + z = 4 ②

x − y − z = 3 ③

2z = 1  ② − ③

z = 1/2

O sistema possui solução:

$\large \text { \sf S= \left \{ \left( \dfrac{9}{2}, \ 1, \ \dfrac{1}{2} \right) \right \} }$

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Answer 2

Observe que as imagens estão numeradas na parte inferior para facilitar a leitura da resolução.

A) O número de soluções pode ser determinado por meio do cálculo do determinante D da matriz dos coeficientes do sistema. A interpretação dos resultados se dá da seguinte forma:

• SPD (Sistema Possível e Determinado): se o determinante for diferente de zero;

• SPI (Sistema Possível e Indeterminado): se o determinante for igual a zero;

• SI (Sistema Impossível): se o determinante principal for igual a zero e o determinante secundário for diferente de zero.

B) Como o sistema tem o mesmo número de equações e de incógnitas, a regra de Cramer pode ser aplicada. Essa aplicação se dá substituindo os termos independentes em cada coluna da mesma matriz que foi utilizada para determinar o número de soluções e, posteriormente, calculando o determinante dessas matrizes. Feita essa etapa, cada resultado obtido deve ser dividido pelo valor do determinante D calculado no item A e o resultado dessas divisões são os valores das incógnitas do sistema.