Question

Considere o sistema abaixo:
4x1 + x2 + 2x3 = 1
x1 + 4x2 + 2x3 = 1
2x1 + x2 + 4x3 = 1
Resolva pelo método de Gauss-Seidel com x(0) = (0 0 0) e número máximo de 2 iterações. Use 4 casas decimais.

Answer 1

Resposta: A solução do sistema pelo método de Gauss-Seidel com duas iterações é S ≅ {x⁽²⁾ = (0,1641; 0,1699; 0,1255)}.

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Explicação passo a passo:

Esse é o mesmo sistema que apareceu na sua pergunta anterior (https://brainly.com.br/tarefa/52638681). Para garantir a utilização de Gauss-Seidel, nós aplicamos um critério de convergência (de Sassenfeld), na qual constatou-se que o sistema converge pelo método. Sendo assim, basta separar a diagonal principal do sistema e partir para o procedimento iterativo.

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Separação da diagonal principal

Seja o sistema abaixo:

$\begin{cases}~4x_1+x_2+2x_3=1\\~x_1+4x_2+2x_3=1\\~2x_1+x_2+4x_3=1\end{cases}$

Em cada linha, isole a variável que ocupa a posição pertencente à diagonal principal:

$L_1\to4x_1+x_2+2x_3=1\to 4x_1=-\,x_2-2x_3+1\to x_1=-\frac{x_2}{4}-\frac{x_3}{2}+\frac{1}{4}$

$L_2\to x_1+4x_2+2x_3=1\to 4x_2=-\,x_1-2x_3+1\to x_2=-\frac{x_1}{4}-\frac{x_3}{2}+\frac{1}{4}$

$L_3\to 2x_1+x_2+4x_3=1\to 4x_3=-\,2x_1-x_2+1\to x_3=-\frac{x_1}{2}-\frac{x_2}{4}+\frac{1}{4}$

Que é o mesmo que:

$x_1=-\,0,\!25x_2-0,\!5x_3+0,\!25$

$x_2=-\,0,\!25x_1-0,\!5x_3+0,\!25$

$x_3=-\,0,\!5x_1-0,\!25x_2+0,\!25$

Procedimento iterativo

Segundo o método de Gauss-Seidel, vale a relação:

$x_1^{(n+1)}=-\,0,\!25x_2^{(n)}-0,\!5x_3^{(n)}+0,\!25$

$x_2^{(n+1)}=-\,0,\!25x_1^{(n+1)}-0,\!5x_3^{(n)}+0,\!25$

$x_3^{(n+1)}=-\,0,\!5x_1^{(n+1)}-0,\!25x_2^{(n+1)}+0,\!25$

Na qual $n$ é o número de iterações.

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Iteração 1:

O exercício estabeleceu como valor inicial

$x^{(0)}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$

, então $x_1^{(0)}=x_2^{(0)}=x_3^{(0)}=0$. A questão também pede que façamos no máximo duas iterações, usando quatro casas decimais. Então temos:

$\\\\x_1^{(0+1)}=-\,0,\!25x_2^{(0)}-0,\!5x_3^{(0)}+0,\!25$

$x_1^{(1)}=-\,0,\!25\cdot0-0,\!5\cdot0+0,\!25$

$x_1^{(1)}=0-0+0,\!25$

$\boxed{x_1^{(1)}=0,\!25}$

$x_2^{(0+1)}=-\,0,\!25x_1^{(0+1)}-0,\!5x_3^{(0)}+0,\!25$

$x_2^{(1)}=-\,0,\!25x_1^{(1)}-0,\!5x_3^{(0)}+0,\!25$

$x_2^{(1)}=-\,0,\!25\cdot0,\!25-0,\!5\cdot0+0,\!25$

$x_2^{(1)}=-\,0,\!0625-0+0,\!25$

$\boxed{x_2^{(1)}=0,\!1875}$

$x_3^{(0+1)}=-\,0,\!5x_1^{(0+1)}-0,\!25x_2^{(0+1)}+0,\!25$

$x_3^{(1)}=-\,0,\!5x_1^{(1)}-0,\!25x_2^{(1)}+0,\!25$

$x_3^{(1)}=-\,0,\!5\cdot0,\!25-0,\!25\cdot 0,\!1875+0,\!25$

$\boxed{x_3^{(1)}=0,\!0781}$

Iteração 2:

Agora o valor inicial para a segunda iteração é

$x^{(1)}=\begin{pmatrix}0,\!25\\0,\!1875\\0,\!0781\end{pmatrix}$

, então temos:

$\\\\x_1^{(1+1)}=-\,0,\!25x_2^{(1)}-0,\!5x_3^{(1)}+0,\!25$

$x_1^{(2)}=-\,0,\!25\cdot0,\!1875-0,\!5\cdot0,\!0781+0,\!25$

$x_1^{(2)}=-\,0,\!0468-0,\!03905+0,\!25$

$\boxed{x_1^{(2)}=0,\!1641}$

$x_2^{(1+1)}=-\,0,\!25x_1^{(1+1)}-0,\!5x_3^{(1)}+0,\!25$

$x_2^{(2)}=-\,0,\!25x_1^{(2)}-0,\!5x_3^{(1)}+0,\!25$

$x_2^{(2)}=-\,0,\!25\cdot0,\!1641-0,\!5\cdot0,\!0781+0,\!25$

$x_2^{(2)}=-\,0,\!04102-0,\!03905+0,\!25$

$\boxed{x_2^{(2)}=0,\!1699}$

$x_3^{(1+1)}=-\,0,\!5x_1^{(1+1)}-0,\!25x_2^{(1+1)}+0,\!25$

$x_3^{(2)}=-\,0,\!5x_1^{(2)}-0,\!25x_2^{(2)}+0,\!25$

$x_3^{(2)}=-\,0,\!5\cdot 0,\!1641-0,\!25\cdot0,\!1699+0,\!25$

$x_3^{(2)}=-\,0,\!08205-0,\!0424+0,\!25$

$\boxed{x_3^{(2)}=0,\!1255}$

E paramos por aqui.

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Portanto, a solução aproximada encontrada de forma numérica é:

$\blue{\boldsymbol{x\cong x^{(2)}=\begin{pmatrix}0,\!1641\\0,\!1699\\0,\!1255\end{pmatrix}}}$

Ou então, $\blue{\boldsymbol{S\cong \big\{x^{(2)}=(0,\!1641;0,\!1699;0,\!1255)\big\}}}$.

Dúvidas? Não hesite em perguntar. Abraços, Nasgovaskov.