Question

Considere o seguinte número complexo:

z = ( Sen 2a +2.Sen²a.Cos a) + ( √3.Cos a +√3.Sen 2a)i

Se 'z' tem argumento π/4 e 'a' pertence ao primeiro quadrante, então:

a) a = π / 3
b) a = π
c) a = 2π / 3
d) a = π / 6
e) a = π / 9​

Answer 1

Vamos lá!

Observe que o exercício nos dá o argumento da função que é π/4 isso significa que a parte real e imaginária é a mesma. Daí

Sen 2a +2.Sen²a.Cos a=√3.Cos a +√3.Sen 2a

Dividindo os dois membros por sen 2a e simplificando temos:

sen 2a/sen2a +(2senacosa.sena)/sen2a

= √3 cosa/sen2a +√3 sen2a/sen2a

1+sena= √3cosa/2sen a cos a +√3

1+sen a=√3/2sen a +√3

2sen a+ 2sen²a=√3+2√3 sen a

2sen²a-2√3 sena+2sen a-√3 =0

Fazendo t= sen a com -1≤ t

2t²-2√3t+2t-√3 =0

∆=(2-2√3)²-4.2.-√3

∆=16-8√3+8√3

∆=16

$t = \frac{ - (2 - 2 \sqrt{3}) - \sqrt{16} }{2.2} \\ t = \frac{ - 2 + 2 \sqrt{3} - 4 }{4} \\ t = \frac{ - 6 + 2 \sqrt{3} }{4}$

$t = \frac{ 2( - 3 + \sqrt{3}) }{4} \\ t = \frac{ - 3 + \sqrt{3} }{2}$

$\sin(a) = \frac{ - 3 + \sqrt{3} }{2}$

$a = arcsen (\frac{ - 3 + \sqrt{3} }{2} ) \\ a = \pi$