Question

Considere o seguinte número complexo: z=2−2i Com base no dado fornecido e nos conteúdos do livro-base Números complexos e equações algébricas sobre números complexos, escolha a alternativa que indica a forma trigonométrica (polar) de z . A z=2.(cosπ6+i.senπ6) B z=2√2.(cos7π4+i.sen7π4) C z=2√2.(cosπ4+i.senπ4) D z=√2.(cosπ3+i.senπ3) E z=√2.(cosπ4+i.senπ4)

Answer 1

Olá, boa tarde ◉‿◉.

Temos que a fórmula trigonométrica de um número complexo é dada por:

$\boxed{z = \rho( \cos \theta + i \sin \theta)}$

Onde:

P → é o módulo dos números complexos em questão, também chamado de (rho).

θ → é o argumento.

Vamos começar os cálculos:

O módulo de um número complexo é dado pela raiz quadrada do quadrado da parte real mais o quadrado da parte imaginária.

$\boxed{ \rho = \sqrt{a {}^{2} + b {}^{2} } }$

Identificando a parte real e imaginária:

$\begin{cases} z = \underbrace2 _{a} \: \: \: \underbrace{- 2i}_{b} \\ \\ a = 2 \\ b = - 2 \end{cases}$

Substituindo na fórmula:

$\rho = \sqrt{(2) {}^{2} + ( - 2) {}^{2} } \\ \rho = \sqrt{4 + 4} \\ \boxed{ \rho = \sqrt{8} \: \: \: ou \: \: 2 \sqrt{2} }$

Agora vamos calcular os argumentos:

$\sin( \theta) = \frac{b}{ \rho} \\ \\ \sin( \theta) = \frac{ - 2}{2 \sqrt{2} } \\ \\ \frac{ - 2}{2 \sqrt{2} } = \frac{ - 2}{2 \sqrt{2} }. \frac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{2} } = \frac{ - 2 \sqrt{2} }{2 \sqrt{4} } = \frac{ -2 \sqrt{2} }{2.2} = \frac{ - 2 \sqrt{2} }{4} = \frac{ - \sqrt{2} }{2} \\ \\ \boxed{\sin{ \theta} = \frac{ - \sqrt{2} }{2} } \\ \\ \cos( \theta) = \frac{a}{ \rho} \\ \\ \cos( \theta) = \frac{2}{2 \sqrt{2} } \\ \\ \frac{2}{2 \sqrt{2} } = \frac{2 }{ 2\sqrt{2} } . \frac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{2} } = \frac{2 \sqrt{2} }{2 \sqrt{4} } = \frac{2 \sqrt{2} }{2.2} = \frac{2 \sqrt{2} }{4} = \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ \\ \boxed{ \cos( \theta) = \frac{ \sqrt{2} }{2} }$

Agora vamos ter que identificar que ângulos são esses.

Poderíamos pensar que seria o ângulo de 45°, pois a tabela dos ângulos notáveis nos diz que:

Sen 45° = √2/2

Cos 45° = √2/2

Mas no nosso caso, não é essa a resposta, pois temos o seno como sendo negativo.

Então vamos pensar assim, sabemos que o cosseno é positivo apenas no primeiro e quarto quadrante e o seno é positivo no primeiro e segundo quadrante, então esse ângulo não poderia estar nem no primeiro, nem no segundo e nem no terceiro quadrante, então só nos resta dizer que ele está no quarto quadrante.

Vamos fazer o inverso da redução ao primeiro quadrante, ou seja, rebater o ângulo de 45° para o quarto quadrante, obtendo assim o ângulo de 315°.

Os itens estão em radiano, então vamos transformar esse ângulo em radiano.

$315 \times \frac{\pi}{180} = \frac{ \cancel{315}\pi { }^{ \div 45} }{ \cancel{180} {}^{ \div 45} } = \boxed{\frac{7\pi}{8}}$

Substituindo na fórmula trigonométrica:

$z = \rho( \cos \theta + i \sin \theta) \\ \\ \boxed{z = 2 \sqrt{2} .( \cos \frac{7\pi}{8} + i \sin \frac{7\pi}{8} )}$

Resposta: letra b)

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️