Question

Considere o seguinte experimento: há um dado e três urnas. O dado é lançado. Se o número obtido for par, a urna 1 é escolhida. Se o número for 1 ou 3, a urna 2 é escolhida. Se o número for 5, a urna 3 é escolhida. Em seguida, retiram-se duas bolas, sem reposição, da urna escolhida (a ordem de retirada das bolas é importante). Contam-se então quantas delas são pretas. Cada urna tem três bolas sendo que uma delas é preta na urna 1, duas são pretas na urna 2 e três na urna 3.
a) Determine o espaço amostral e as probabilidades de todos os seus elementos.
b) Se for considerada a amostragem com reposição, qual a probabilidade da urna escolhida ser a urna 1 e as bolas sorteadas sejam uma branca seguida de uma preta?

Answer 1

a) Dado o espaço amostral do dado: {1,2,3,4,5,6}, tem-se que:

• Se o número do dado for {2,4,6} a urna 1 será escolhida

• Se for {1,3} a urna 2 será escolhida

• Se for {5} a urna 3 será escolhida

A probabilidade de escolha das urnas, a partir do dado são:

Urna 1: 3/6 = 1/2

Urna 2: 2/6 = 1/3

Urna 3: 1/6

Após a escolha das urnas, retiram-se duas bolas sem reposição cujos casos (espaço amostral) são:

• Retirar da urna 1 (1 preta, 2 de outra cor):

1 bola preta depois 1 bola de outra cor (1/3 . 2/2 = 1/3)

1 bola de outra cor depois 1 bola preta (2/3 . 1/2 = 1/3)

2 bolas de outra cor (2/3 . 1/2 = 1/3)

• Retirar da urna 2 (2 pretas, 1 de outra cor):

1 bola preta depois 1 bola de outra cor (2/3 . 1/2 = 1/3)

1 bola de outra cor depois 1 bola preta (1/3 . 2/2 = 1/3)

2 bolas pretas (2/3 . 1/2 = 1/3)

• Retirar da urna 3 (3 pretas):

2 bolas pretas (3/3)

A probabilidade de cada caso listado acontecer é: (multiplique cada probabilidade de escolha de urna pela probabilidade de cada caso)

-Urna 1:

Caso 1,2 e 3: 1/3 . 1/2 = 1/6 = 16,667%

-Urna 2:

Caso 1,2 e 3: 1/3 . 1/3 = 1/9 = 11,111%

-Urna 3:

Caso 1: 3/3 . 1/6 = 1/6 = 16,667%

Somando cada caso (1,2 e 3) de cada urna:

16,667% + 16,667% + 16,667% + 11,111% + 11,111% + 11,111% + 16,667% = 100%

b)

Devemos calcular a probabilidade das bolas sorteadas serem uma branca e depois uma preta (com reposição). Logo após, basta multiplicar o resultado pela probabilidade da urna 1 ser escolhida (1/2).

• Urna 1:

- 1 preta

- 2 brancas

1. Retirada (branca -> preta, com reposição)

2/3 . 1/3 = 2/9

   2. Multiplicação:

2/9 . 1/2 = 1/9 = 11,111%

Resposta b): 11,111%