Question

Considere o seguinte exercício:

Dados os pontos A = (–2, 0), B = (0, –3) e C = (6, 0), determine a equação reduzida da circunferência que contém os três pontos, que será do tipo (x – a)2 + (y – b)2 = r2, sendo a e b as coordenadas do centro, e r a medida do raio.

Resolva o exercício através de cálculos algébricos: Achando a equação das mediatrizes m1 e m2

dos segmentos AB e BC respectivamente, depois resolve-se o sistema com as duas equações das retas, obtendo-se solução do sistema (x,y) = (a,b), ou seja, a sua intersecção conforme mostra a figura. Determine também as coordenadas do ponto P.

Answer 1

Olá

Temos que a mediatriz é perpendicular ao segmento e divide o mesmo ao meio.

Daí, vamos calcular o ponto médio dos segmentos AB e BC:

$M_{AB} = ( \frac{-2}{2}, \frac{-3}{2}) = (-1,- \frac{3}{2})$

$M_{BC} = (\frac{6}{2}, \frac{-3}{2}) = (3,- \frac{3}{2})$

Perceba que a reta que passa por AB é 3x + 2y = -6 e o seu vetor normal é u = (3,2).

Portanto, montando a equação paramétrica de m1, temos que:

$M1 = \left \{ {{x = -1+3t} \atop {y = - \frac{3}{2} +2t }} \right.$

Daí, a equação cartesiana de M1 é: $2x-3y = \frac{5}{2}$

A reta que passa por BC é -x + 2y = -6 e o vetor normal é v = (-1,2).

Portanto, montando a equação paramétrica de M2, temos que:$M2 = \left \{ {{x=3-t} \atop {y=- \frac{3}{2} +2t }} \right.$

Daí, a equação cartesiana de M2 é $2x+y= \frac{9}{2}$

Agora, vamos encontrar o ponto de interseção entre as duas retas que nos dará o centro da circunferência:

Temos que $y = \frac{9}{2} - 2x$. Logo, 

$2x - 3( \frac{9}{2} - 2x) = \frac{5}{2}$
$2x - \frac{27}{2} +6x= \frac{5}{2}$
$8x = \frac{32}{2}$
8x = 16
x = 2

Portanto, $y = \frac{9}{2} - 2.2 = \frac{9}{2} - 4 = \frac{1}{2}$

Logo, o centro da circunferência é $(2, \frac{1}{2} )$

Agora, para calcularmos o raio da circunferência, basta calcular a distância do centro até um dos pontos. Farei a distância do centro até o ponto C:


$r = \sqrt{(6-2)^{2}+(1- \frac{1}{2}})^{2} }$
$r = \sqrt{16+ \frac{1}{4} }$
$r = \sqrt{ \frac{65}{4} }$
$r^{2} = \frac{65}{4}$

Portanto, a equação da circunferência é:

$(x-2)^{2}+(y- \frac{1}{2})^{2}= \frac{65}{4}$

Perceba que o ponto P é da forma (0,y'). Logo, temos que:

$(2-0)^{2}+(\frac{1}{2}-y')^{2}=\frac{65}{4}$
$4y'^{2}-4y'-48=0$

Resolvendo essa equação do segundo grau encontraremos y' = -3 ou y' = 4.

Como y' é positivo, então o ponto P é P=(0,4)