Question

Considere o seguinte conjunto de dados com cinco pontos: (1, 52); (2, 5); (4, -5), (5, - 40) e (7, 10). Ao empregar o método de Newton para interpolação sobre todos os pontos, obtemos um polinômio interpolador de grau 4, cuja soma de seus coeficientes é

Alternativas:

A)( ) divisível por 3
B)( ) múltiplo de 3
C)( ) um número primo
D)( ) divisível por 13
E)( ) um número ímpar

Answer 1

Com base na interpolação polinomial de Newton, temos que a soma dos coeficientes é 52 ou seja um múltiplo de 13 letra d

Interpolação polinomial de Newton

A interpolação polinomial de Newton é outra maneira popular de ajustar exatamente um conjunto de pontos de dados. A forma geral de um $n-1$ o polinômio de Newton de ordem que passa por n pontos é:

$f(x) = a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)(x-x_1) + \dots + a_n(x-x_0)(x-x_1)\dots(x-x_n)$

que pode ser reescrita como:

$f(x) = \sum_{i=0}^{n}{a_in_i(x)}$

Onde:

$n_i(x) = \prod_{j=0}^{i-1}(x-x_j)$

A característica especial do polinômio de Newton é que os coeficientes $a_i$ podem ser determinados usando um procedimento matemático muito simples. Por exemplo, como o polinômio passa por cada ponto de dados, portanto, para um ponto de dados

$(x_i, y_i)$ nós teremos $f(x_i) = y_i$ assim temos:

$f(x_0) = a_0 = y_0$

$f(x_1) = a_0 + a_1(x_1-x_0) = y_1$

$a_1 = \dfrac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}$

$a_2 = \dfrac{\dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} - \dfrac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}}{x_2 - x_0}$

$a_3 = \dfrac{\dfrac{\dfrac{y_3-y_2}{x_3-x_2} - \dfrac{y_2 - y_1}{x_2-x_1}}{x_3 - x_1} - \dfrac{\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}-\dfrac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}}{x_2-x_0}}{x_3 - x_0}$

$f[x_1, x_0] = \dfrac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}$

$f[x_2, x_1, x_0] = \dfrac{\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} - \dfrac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}}{x_2 - x_0} = \dfrac{f[x_2,x_1] - f[x_1,x_0]}{x_2-x_1}$

$f[x_k, x_{k-1}, \dots, x_{1}, x_0] = \dfrac{f[x_k, x_{k-1}, \dots, x_{2}, x_2] - f[x_{k-1}, x_{k-2}, \dots, x_{1}, x_0]}{x_k-x_0}$

Com base nessas informações podemos resolver o exercício.

$\displaystyle{P_n(x) = 52+\left(\frac{52}{1-2}+\frac{5}{2-1}\right)\left(x-1\right)+$

$+\left(\dfrac{52}{\left(1-2\right)\left(1-4\right)}+\dfrac{5}{\left(2-1\right)\left(2-4\right)}+$

$+\dfrac{-5}{\left(4-1\right)\left(4-2\right)}\right)\left(\left(x-1\right)\left(x-2\right)\right)+$

$+\left(\dfrac{52}{\left(\left(1-2\right)\left(1-4\right)\right)\left(1-5\right)}+$

$+\dfrac{5}{\left(\left(2-1\right)\left(2-4\right)\right)\left(2-5\right)}+$

$+\dfrac{-5}{\left(\left(4-1\right)\left(4-2\right)\right)\left(4-5\right)}+$

$+\dfrac{-40}{\left(\left(5-1\right)\left(5-2\right)\right)\left(5-4\right)}\right)\left(\left(\left(x-1\right)\left(x-2\right)\right)\left(x-4\right)\right)+$

$+\left(\dfrac{52}{\left(\left(\left(1-2\right)\left(1-4\right)\right)\left(1-5\right)\right)\left(1-7\right)}+$

$+\dfrac{5}{\left(\left(\left(2-1\right)\left(2-4\right)\right)\left(2-5\right)\right)\left(2-7\right)}+$

$+\dfrac{-5}{\left(\left(\left(4-1\right)\left(4-2\right)\right)\left(4-5\right)\right)\left(4-7\right)}+$

$+\dfrac{-40}{\left(\left(\left(5-1\right)\left(5-2\right)\right)\left(5-4\right)\right)\left(5-7\right)}+$

$+\dfrac{10}{\left(\left(\left(7-1\right)\left(7-2\right)\right)\left(7-4\right)\right)\left(7-5\right)}\right)\left(\left(\left(\left(x-1\right)\left(x-2\right)\right)\left(x-4\right)\right)\left(x-5\right)\right)}$

Por fim teremos:

$2x^{4}-30x^{3}+154x^{2}-329x+255$

Saiba mais sobre interpolação:https://brainly.com.br/tarefa/39850414

#SPJ1