Question

Considere o seguinte binômio:
$(\sqrt{2xy} - \frac{x\frac{1}{3} }{y^{4} } )^{105}$

Usando o desenvolvimento do binômio de Newton calcule o coeficiente de $x^{50}$. Justifique.

Alguém me ajuda nessa questão?
Tenho um trabalho pra entrega na terça e não sei nem por onde começa nessa questão

Answer 1

O coeficiente de x^50 é de 105! / 15! . 90!

Vamos aos dados/resoluções:

√2xy - x^1/2 / y^4)^105

O termo geral de um binômio (x+a)^n e Tp+1 = (np)x^n-p . a^p

Portanto ;

Tp + 1 = (105 p) ((2xy)^1/2)^105-p . (-x^1/3y^-4)p

Tp + 1 = (105 p) (2xy) 105-p/2 . (-x^1/3 y^-4)p

Tp + 1 = (105 p ) (2y)^105-p/2 . x 105 - p/2 . x^p/3 (-y^-4)p

Tp + 1 = (105 p ) (2y) 105 - p/2 . x (105 - p /2) + p/3 . (-y^-4)p

E como queremos o coeficiente de x^50 , teremos então ;

x 105 - p/2 + p/3 = x^50

105 - p/2 + p/3 = 50

315 - 3p + 2p/6 = 50

315 - 3p + 2p = 300  

- p = -15

p = 15

Finalizando então, o coeficiente de x^50 é ;

(105 15) = 105!/15! ( 105 - 15)!  

(105 15) = 105!/15!.90!

espero ter ajudado nos estudos, bom dia :)