Question

Considere o segmento de reta AB dado por A= (2,6) e B= (-4,8) e um ponto P= (a,b) sobre a reta que une "A" e "B" e exterior a AB. sabendo que a distância de "P" a "A" é 4/3 da distância de "P" a "B", determine "a+b"​

Answer 1

Resposta:

E só somar todos os pontos a e b e p que irá dar o resultado

Answer 2

A soma das coordenadas do ponto P vale - 8.

Anexei um gráfico no final desta resolução, para facilitar o entendimento.

O ponto P faz parte da reta AB, mas não está entre os dois pontos A e B, conforme vemos na figura.

Primeiramente devemos encontrar a equação da reta que passa pelos pontos A e B. Toda equação de reta possui a seguinte forma:

y = ax + b

Para o ponto A, teremos:

6 = 2a + b

b = 6 - 2a

Para o ponto B, temos:

8 = -4a + b

b = 8 + 4a

Igualando as duas expressões:

6 - 2a = 8 + 4a

6a = - 2

a = - 1/3

E ainda:

b = 6 - 2a = 6 - 2*(-1/3) = 6 + 2/3 = 20/3

Logo a reta AB tem equação:

y = (20 - x)/3

3y = 20 - x

x + 3y = 20

Sendo assim, o ponto P terá a seguinte relação:

a + 3b = 20

a = 20 - 3b

Agora vamos utilizar a relação fornecida para as distâncias. Pelo enunciado, sabemos que:

$d_{PA} = \frac{4}{3} *d_{PB}\\\\3d_{PA} = 4 d_{PB}$

Pela fórmula da distância entre dois pontos vamos ficar com a seguinte igualdade:

$3*\sqrt{(a - 2)^2 + (b - 6)^2} = 4*\sqrt{(a + 4)^2 + (b - 8)^2}$

Elevando ambos os lados ao quadrado:

$(3*\sqrt{(a - 2)^2 + (b - 6)^2})^2 = (4*\sqrt{(a + 4)^2 + (b - 8)^2})^2\\\\9*(a - 2)^2 + 9*(b - 6)^2 = 16*(a + 4)^2 + 16*(b - 8)^2\\\\9a^2 - 36a + 36 + 9b^2 - 108b + 324 = 16a^2 + 128a + 256 + 16b^2 - 256b + 1024\\\\7a^2 + 164a + 7b^2 - 148b + 920 = 0$

Substituindo a = 20 - 3b, teremos:

$7a^2 + 164a + 7b^2 - 148b + 920 = 0\\\\7*(20 - 3b)^2 + 164*(20 - 3b) + 7b^2 - 148b + 920 = 0\\\\2800 - 840b + 63b^2 + 3280 - 492b + 7b^2 - 148b + 920 = 0\\\\70b^2 - 1480b + 7000 = 0\\\\\Delta = (-1480)^2 - 4*70*7000 = 230400\\\\b = \frac{1480\pm 480}{140} \\\\b' = 1000/140 = 7,15\\\\b'' = 14$

para b' = 7,15, temos:

a' = 20 - 3*7,15 = 20 - 21,45 = - 1,45

E para b'' = 14, temos:

a'' = 20 - 3*14 = 20 - 42 = - 22

Logo vamos analisar os dois pontos possíveis P'(-1,45 , 7,5) e P''(- 22 , 14). Colocando-os no gráfico, vemos que somente P'' faz parte da reta AB, logo ele é a nossa solução. Portanto:

a + b = - 22 + 14 = - 8

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