Question

Considere o retângulo ABCD, cuja base mede 40 cm e altura mede 60 cm, e o triângulo BEF construído com vértices sobre os lados do retângulo, conforme a figura abaixo. Sabendo que ED= 3DF e a área do triângulo BEF é a maior possível, qual a área deste triângulo? (A) 750 CM2 (B) 900 cm2 (C) 1050 cm2 (D) 1200 cm2 (E) 1350 cm2

Answer 1

A área deste triângulo é 1350 cm².

Vamos considerar que o segmento DF é igual a x.

Sendo assim, temos que o segmento ED é igual a 3x.

Como CD é igual a 40 cm, então FC = 40 - x.

Da mesma forma, como AD é igual a 60 cm, então AE = 60 - 3x.

A área do triângulo é igual à área do retângulo ABC menos a soma das áreas dos triângulos ABE, BFC e EDF.

Sabendo que a área do retângulo é igual ao produto base x altura e que a área do triângulo é igual à metade do produto da base pela altura, temos que:

y = 40.60 - 40(60 - 3x)/2 - 60(40 - x)/2 - 3x.x/2

y = 2400 - 1200 + 60x + 1200 + 30 - 3x²/2

y = -3x²/2 + 90x.

Para calcularmos a área máxima, basta calcular o y do vértice.

Calculando o valor de delta, obtemos:

Δ = 90² - 4.(-3/2).0

Δ = 8100.

Portanto, a área máxima será:

yv = -8100/4.(-3/2)

yv = 8100/6

yv = 1350.