Considere o quadrado de lados paralelos aos eixos coordenados e circunscrito à circunferência de equação: x² + y² − 6x − 4y + 12 = 0
Determine as equações das retas que contêm as diagonais desse quadrado.
Soluções para a tarefa
As equações das retas que contém as diagonais desse quadrado são: y = x - 1 e y = -x + 5.
Se o quadrado está circunscrito à circunferência, então a medida do seu diâmetro é igual à medida do lado do quadrado.
Vamos completar quadrado na equação x² + y² - 6x - 4y + 12 = 0 para obtermos o raio da circunferência:
x² - 6x + 9 + y² - 4y + 4 = -12 + 9 + 4
(x - 3)² + (y - 2)² = 1.
O raio da circunferência é igual a 1.
Logo, o seu diâmetro mede 2 e, consequentemente, o lado do quadrado também.
Então, temos que os vértices são (2,3), (4,3), (4,1), (2,1).
Precisamos calcular as equações das retas que passam pelos pontos (2,3) e (4,1), (4,3) e (2,1).
Reta que passa por (2,3) e (4,1).
A equação da reta é da forma y = ax + b. Substituindo esses dois pontos nessa equação, obtemos o sistema:
{2a + b = 3
{4a + b = 1.
Subtraindo as equações:
-2a = 2
a = -1.
Então:
2(-1) + b = 3
-2 + b = 3
b = 5.
A equação da reta é y = -x + 5.
Reta que passa pelos pontos (2,1) e (4,3).
Utilizando o mesmo raciocínio acima:
{2a + b = 1
{4a + b = 3
-2a = -2
a = 1
e
2.1 + b = 1
2 + b = 1
b = -1.
A equação da reta é y = x - 1.
