Considere o quadrado ABCD e o quadrilátero MNOP cujos vértices são os pontos médios dos lados do quadrado ABCD. Se T é o ponto médio do segmento MN e a área do quadrado ABCD é igual a 40 cm², calcule a área do triângulo OTP.
Soluções para a tarefa
Boa Noite!!
A área de um quadrado é o seu lado ao quadrado (A = l²)
Sabemos que a área do quadrado ABCD é 40 cm², então é possível saber qual é o seu lado. Fica:
40 = l²
l = √40
l = √8.5 ⇒ l = √2³.5 ⇒ l = √2².2.5 ⇒ l = 2.√2.5 ⇒ l = 2.√10
Assim, podemos notar que os lados do quadrado ABCD medem 2√10 cm. Sendo os vértices do quadrilátero MNOP os pontos médios de ABCD, podemos concluir que:
AN = ND = DM = MC = CP = PB = BO = OA = 2√10/2 = √10 ( A Figura 1 em anexo ilustra melhor esta situação)
É possível notar que, o quadrilátero MNOP também é um quadrado e que para encontrar a área do triângulo OTP é necessário encontrar o lado do quadrado MNOP. Para encontrar este lado, podemos fazer teorema de Pitágoras, já que todos os triângulos formados (DMN, MCP, PBO e ANO) são retângulos (ver a figura 2 em anexo)
Considerando o triângulo DMN, fazemos:
x² = (√10)² + (√10)²
x² = 10 + 10
x² = 20
x = √20 ⇒ x = √4.5 ⇒ x = 2√5
Daí, cada lado do quadrado MNOP vale 2√5 cm. Sendo T ponto médio de MN, temos que: MT = TN = 2√5/2 = √5 (ver figura 3 em anexo)
Para descobrir a área do triângulo OTP, podemos subtrair a área do quadrado MNOP pelas áreas dos triângulos TMO e TNP. Daí:
Área de MNOP = (2√5)² = 20 cm²
Área de TMO = (√5.2√5)/2 = 10/2 = 5 cm²
Podemos notar que TMO = TNP, logo:
Área de TNP = 5 cm²
Logo:
Área de OTP = 20 - (5 + 5) = 20 - 10 = 10 cm²
Espero ter ajudado ;)
A área do triângulo OTP é 10 cm².
Note que o quadrado MNOP tem vértices dados pelos pontos médios do quadrado ABCD, desta forma, temos quatro triângulos retângulos isósceles formados dentro de ABCD.
Se a área de ABCD é 40 cm², a medida do seu lado será:
A = L²
40 = L²
L = 2√10 cm
Os catetos desses triângulos tem metade da medida do lado de ABCD, logo, a medida de suas hipotenusas é:
PO² = √10² + √10²
PO² = 20
PO = 2√5 cm
PO é a medida do lado do quadrado MNOP que também é a base e altura do triângulo OTP, logo, a área desse triângulo é:
A = (2√5 . 2√5)/2
A = 10 cm²