Question

Considere o problema proposto no experimento “Estradas para a Estação” com a cidade A no ponto (2;2), a cidade B no ponto (8;1) e os trilhos como sendo a reta horizontal que corta o eixo Y no ponto (0;3). Quais são as coordenadas do ponto em que a estação deve ser construída, para que a distância até cada cidade seja a mesma?

Answer 1

Para resolver esta questão precismos imaginar o desenho que as coordenadas dadas pelo enunciado formam, então:

Sabendo que a cidade A está no ponto (2;2) e que a cidade B está no ponto (8;1) então podemos afirmar que a diferença entre elas no eixo x é de 6 unidades e no eixo y é de apenas 1.

Como o trilho passa na reta que corta o eixo y na unidade 3, podemos afirmas que em relação ao eixo y o trilho está 1 unidade longe da cidade A e 2 longe da cidade B.

Admitindo que a estação ficará em algum ponto do trilho entre A e B e que a distância da estação até a cidade A é "d" e até a cidade B é "d". Podemos construir dois triângulos retângulos:

- cidade A + Estação é formado pela reta "d", que a diagonal (hipotenusa) entre os dois pontos, por 1 (cateto) que é a altura em relação ao eixo y da cidade A até a estação e por fim uma reta igual a "m" (cateto) que é a distância no eixo x da estação até a cidade A.

d² = 1² + m²

- cidade B + Estação é formado pela reta "d", que a diagonal (hipotenusa) entre os dois pontos, por 2 (cateto) que é a altura em relação ao eixo y da cidade B até a estação e por fim uma reta igual a "n" (cateto) que é a distância no eixo x da estação até a cidade B.

d² = 2² + n²

- sabemos que a soma de "m" e "n" é a distância horizontal da cidade A até a cidade B = 6 unidades no eixo x.

m + n = 6

m = 6 - n

Substituindo as equações, temos:

1² + m² = 2² + n²

1 + (6 - n)²  = 4 + n²

1 + 36 - 12n + n² = 4 + n²

37 - 12n = 4

12n = 33

n = 2,75 unidades no eixo x

m = 6 - 2,75

m = 3,25 unidades no eixo x

Sabemos que a estação ficará a "m" unidades no eixo x e a 1 unidade no eixo y em relação a cidade A, logo:

cidade A = (2;2)

estação = (2 + m ; 2 + 1)

estação = (2 + 3,25 ; 3)

estação = (5,25 ; 3)

e a distância da estação até as cidades é igual a:

d² = 1² + m²

d² = 1 + 10,5625

d² = 11,5625

d = 3,4 unidades.