Question

Considere o prisma triangular com 8 u.c. de altura e a base sendo um triângulo ABC cujos vértices são os pontos de interseção das retas 2y = x , y + x = 3 e y = ax , com α ∈ R*.
Se o volume desse prisma triangular é 12 u.v., o valor da soma das abscissas dos vértices do triângulo ABC é:
a) 5
b) 2
c) 4
d) 3
e) 1
Com resolução por favor

Answer 1

Primeiramente, vamos calcular as interseções entre as retas:

x - 2y = 0 e x + y = 3

Subtraindo as retas, obtemos:

-3y = -3

y = 1 ∴ x = 2 → A = (2,1).

x - 2y = 0 e ax - y = 0

Sendo x = 2y, temos que:

2ay - y = 0

y(2a - 1) = 0

y = 0 ∴ x = 0 → B = (0,0).

x + y = 3 e ax - y = 0

Somando as duas retas, obtemos:

x + ax = 3

x(1 + a) = 3

$x=\frac{3}{a+1}$ ∴ $y=\frac{3a}{1+a}$ → $C=(\frac{3}{1+a},\frac{3a}{1+a})$.

Sabemos que o volume de um prisma é igual ao produto da área da base pela altura, ou seja,

12 = Ab. 8

Ab = 1,5.

Para calcular o valor de Ab, vamos considerar os seguintes vetores:

BA = (2,1)

$BC=(\frac{3}{1+a},\frac{3a}{1+a})$.

Assim,

$Ab = \frac{1}{2} \left[\begin{array}{ccc}2&1\\\frac{3}{1+a}&\frac{3a}{1+a}\end{array}\right]$

$Ab = \frac{1}{2}.\frac{6a - 3}{a+1}$

Daí,

$3 = \frac{6a-3}{a+1}$

3a + 3 = 6a - 3

3a = 6

a = 2.

Logo, C = (1,2).

Portanto, a soma das abscissas dos vértices do triângulo ABC é: 2 + 0 + 1 = 3.

Alternativa correta: letra d).