Question

Considere o ponto P(a, b) pertencente à reta de equação y = x –1. Quais são as condições do número real “a” para que o ponto P seja interno à circunferência de equação (x –3)² + (y – 4)² = 4?

Answer 1

Olá, boa noite.

Considere o ponto $P(a,~b)$ pertencente à reta de equação $y=x-1$. Quais devem ser as condições do número real $a$ para que o ponto $P$ seja interno à circunferência de equação $(x-3)^2+(y-4)^2=4$?

Primeiro, devemos determinar as coordenadas do ponto $P$ em função de $a$, fazendo:

$b=a-1$

Logo, o ponto $P$ tem coordenadas $(a,~a-1)$.

Para que um ponto seja interno a uma circunferência de centro em $(x_C,~y_C)$ e raio $r$, a distância deste ponto ao centro deve ser menor que o raio.

A equação reduzida de uma circunferência é dada por: $(x-x_C)^2+(y-y_C)^2=r^2$

Com isso, facilmente vemos que as coordenadas do centro da circunferência são: $(3,~4)$ e $r^2=4$

Calculando a raiz quadrada em ambos os lados da igualdade, encontramos o valor do raio: $r=2$.

Dessa forma, utilizando a fórmula para a distância de dois pontos: $d=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}$ e fazendo $d<r$, teremos:

$\sqrt{(a-3)^2+(a-1-4)^2}<2$

Some os valores dentro dos parênteses e calcule as potências

$\sqrt{(a-3)^2+(a-5)^2}<2\\\\\\ \sqrt{a^2-6a+9+a^2-10a+25}<2$

Some os termos semelhantes

$\sqrt{2a^2-16a+34}<2$

Eleve ambos os lados da equação ao quadrado

$|2a^2-16a+34|<4$

Resolvendo a equação modular, temos:

$-4<2a^2-16a+34~~\bold{ou}~~2a^2-16a+34<4$

Some $4$ em ambos os lados da primeira inequação e subtraia $4$ em ambos os lados da segunda inequação

$0<2a^2-16a+38~~\bold{ou}~~2a^2-16a+30<0$

Resolvendo as inequações, obtemos os seguintes resultados:

$a\notin\mathbb{R}~~\bold{ou}~~a\in]3,~5[$.

Dessa forma, conclui-se que para qualquer número real $a\in]3,~5[$, o ponto $P$ é interno à circunferência.