Considere o ponto P(7;9) e a circunferência λ de equação (x-3)² (y-6)² = 25.a) Mostre que P pertence a λ.b) Obtenha o centro C da circunferência.
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A) Para mostrar que P pertence à , precisamos substituir os valores do ponto na equação da circunferência, ou seja, no lugar de
colocamos
e no lugar de
colocamos
pois
equivalem a
.
Como a igualdade é verdadeira, então o ponto P pertence à circunferência.
B) Para encontrar o centro da circunferência, basta usarmos a equação reduzida, onde e
são as coordenadas do ponto C
, que é o centro da circunferência:
Como na equação, e
, então o centro da circunferência é representado pelo ponto
.
hainaracristine:
pode me ajudar com mais uma ?
Ok, qual seria?
lembrando que a reta T, tangente á circunferência no ponto P, é perpendicular ao raio CP, obtenha uma equação da reta T
Para calcular a reta tangente à circunferência com um ponto conhecido, precisamos usar a fórmula do coeficiente angular de uma reta, que é dado por:
y - yo = m(x - xo)
Como o ponto P possui coordenadas (7, 9), substituimos nos valores de xo e yo, respectivamente.
y - 9 = m(x - 7)
y - 9 = mx - 7m
mx - 7m - y + 9 = 0
mx - y - 7m + 9 = 0
y - yo = m(x - xo)
Como o ponto P possui coordenadas (7, 9), substituimos nos valores de xo e yo, respectivamente.
y - 9 = m(x - 7)
y - 9 = mx - 7m
mx - 7m - y + 9 = 0
mx - y - 7m + 9 = 0
Note que precisamos do coeficiente angular m para obter a equação da reta. Por isso, calculamos a distância do centro até a reta T.
d = ( | a*xo + b*yo + c | )/( √(a^2 + b^2) )
d = ( | m*xo - 1*yo - 7m + 9 | )/( √(m^2 + (-1)^2) )
No lugar de xo e yo, colocamos as coordenadas do centro da circunferência, que é (3, 6).
d = ( | m*3 - 1*6 - 7m + 9 | )/( √(m^2 + (-1)^2) )
d = ( | 3m - 6 - 7m + 9 | )/( √(m^2 + 1) )
d = ( | -4m + 3 | )/( √(m^2 + 1) )
d = ( | a*xo + b*yo + c | )/( √(a^2 + b^2) )
d = ( | m*xo - 1*yo - 7m + 9 | )/( √(m^2 + (-1)^2) )
No lugar de xo e yo, colocamos as coordenadas do centro da circunferência, que é (3, 6).
d = ( | m*3 - 1*6 - 7m + 9 | )/( √(m^2 + (-1)^2) )
d = ( | 3m - 6 - 7m + 9 | )/( √(m^2 + 1) )
d = ( | -4m + 3 | )/( √(m^2 + 1) )
Como a distância do centro até a reta tangente ao ponto é o raio, que é 5 (√25 = 5), então substituímos no lugar da distância d.
5 = ( | -4m + 3 | )/( √(m^2 + 1) )
5*√(m^2 + 1) = | -4m + 3 |
5*√(m^2 + 1) = √(-4m + 3)^2
√(m^2 + 1) = (√(-4m + 3)^2)/5
m^2 + 1 = ((√(-4m + 3)^2)/5)^2
m^2 + 1 = (-4m + 3)^2/25
m^2 + 1 = (16m^2 - 24m + 9)/25
25*(m^2 + 1) = 16m^2 - 24m + 9
25m^2 + 25 = 16m^2 - 24m + 9
25m^2 - 16m^2 + 24m + 25 - 9 = 0
9m^2 + 24m + 16 = 0
5 = ( | -4m + 3 | )/( √(m^2 + 1) )
5*√(m^2 + 1) = | -4m + 3 |
5*√(m^2 + 1) = √(-4m + 3)^2
√(m^2 + 1) = (√(-4m + 3)^2)/5
m^2 + 1 = ((√(-4m + 3)^2)/5)^2
m^2 + 1 = (-4m + 3)^2/25
m^2 + 1 = (16m^2 - 24m + 9)/25
25*(m^2 + 1) = 16m^2 - 24m + 9
25m^2 + 25 = 16m^2 - 24m + 9
25m^2 - 16m^2 + 24m + 25 - 9 = 0
9m^2 + 24m + 16 = 0
Resolvendo essa equação do 2º grau, temos que m = -4/3.
Agora, basta substituirmos m na equação da reta.
mx - y - 7m + 9 = 0
(-4/3)x - y - 7*(-4/3) + 9 = 0
(-4/3)x - y + 28/3 + 9 = 0
(-4/3)x - y + 55/3 = 0
y = (-4/3)x + 55/3
Agora, basta substituirmos m na equação da reta.
mx - y - 7m + 9 = 0
(-4/3)x - y - 7*(-4/3) + 9 = 0
(-4/3)x - y + 28/3 + 9 = 0
(-4/3)x - y + 55/3 = 0
y = (-4/3)x + 55/3
Desculpa, tive que dividir em mais de um comentário. Desculpa a formatação também, não dá pra colocar aquelas fórmulas bonitas no comentário kk
tudo bem kkkk estou tentando entender mas muito obrigada pela ajuda
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