Question

Considere o ponto P(5, -1) e a circunferência de equação x² + y² - 6x - 2y + 8 = 0. Sobre a posição de P relativamente à circunferência, podemos dizer que ele:

A)Pertence à circunferência
B)É externo à circunferência
C)É interno à circunferência
D)É tangente à circunferência
OBS: preciso da conta completa

Answer 1

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades de geometria analítica.

Seja o ponto $P~(5,\,-1)$ e a circunferência de equação $x^2+y^2-6x-2y+8=0$.

Devemos determinar a posição relativa do ponto à circunferência. Para isso, devemos determinar as coordenadas do centro desta circunferência e a medida de seu raio.

Dada uma equação geral de circunferência, podemos utilizar o método de completar quadrados para encontrar sua equação reduzida. Ao compararmos esta equação à forma genérica, teremos todas as informações necessárias.

Para completar quadrados, somamos o quadrado da metade dos coeficientes dos termos de grau $1$:

$x^2+y^2-6x-2y+8+\bold{\left(\dfrac{-6}{2}\right)^2+\left(\dfrac{-2}{2}\right)^2=\left(\dfrac{-6}{2}\right)^2+\left(\dfrac{-2}{2}\right)^2}\\\\\\\ x^2+y^2-6x-2y+8+\bold{9+1=9+1}$

Reorganize os termos

$x^2-6x+9+y^2-2y+1+8=10$

Fatore os trinômios quadrados perfeitos e subtraia $8$ em ambos os lados da equação

$(x-3)^2+(y-1)^2=2$

Ao compararmos esta equação com a forma genérica: $(x-x_c)^2+(y-y_c)^2=r^2$, em que $(x_c,~y_c)$ são as coordenadas do centro da circunferência e $r$ é a medida do seu raio, teremos:

$(x-3)^2+(y-1)^2=2\Rightarrow C~(3,~1)$ e $r=\sqrt{2}$.

Então, para calcularmos a distância $d$ entre o ponto $P$ e o centro $C$, utilizamos a fórmula: $d=\sqrt{(x_P-x_C)^2+(y_P-y_C)^2}$.

Este resultado pode nos definir qual a posição relativa entre o ponto e a circunferência:

• Se $d>r$, o ponto é externo à circunferência.
• Se $d=r$, o ponto pertence à circunferência.
• Se $d<r$, o ponto é interno à circunferência.

Substituindo as coordenadas dos pontos, teremos:

$d=\sqrt{(5-3)^2+(-1-1)^2}$

Some os valores dentro dos parênteses

$d=\sqrt{(2)^2+(-2)^2}$

Calcule as potências e some os valores

$d=\sqrt{4+4}\\\\\\ d=\sqrt{8}$

Calcule o radical

$d=2\sqrt{2}$

Como podemos ver, $d>r$, logo este ponto é externo à circunferência, resposta contida na letra b).