Question

Considere o ponto P=(4.0.3) e a reta r: (0,-3,0) +t(0,0,1), e o plano, π, que contem P e r. O valor da distancia deste plano ao ponto Q=(-1,-1,1) é?

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Boa tarde, amigo, será uma honra te ajudar neste problema!

Primeiramente, vamos ver o que a questão pede. Olhando pro comando, você vai ver que o enunciado te dá duas informações e te pede uma. Que são: te dá um ponto do plano e uma reta no plano; te pede a distância do plano ao ponto Q.

Sabendo disso, o que nós precisamos fazer em ordem é isto:

1. Encontrar o Plano π, sabendo que P = (4,0,3), r: (0,-3,0)+t(0,0,1) e eles estão no plano.

2. Calcular a distância de π ao ponto Q = (-1,-1,1)

Resolução:

O plano possui o ponto P e a reta r. Com isso, nós podemos obter dois pontos pela reta r, que são colineares. Se P for um ponto não colinear aos pontos da reta r. Então, podemos achar a equação do plano com essas informações. (Veja a imagem em anexo)

Usando a reta r, com t = 0 e t = 1. Obtemos, respectivamente os pontos:

A = (0,-3,0)+0.(0,0,1) = (0,-3,0)

B = (0,-3,0)+1.(0,0,1) = (0,-3,1)

Pronto, agora temos 3 pontos não colineares entre si:

A = (0,-3,0) ;  B = (0,-3,1)  ; P = (4,0,3)

Você pode verificar que eles não são colineares encontrando o determinante:

A = $\left[\begin{array}{ccc}0&-3&0\\0&-3&1\\4&0&3\end{array}\right]$

Se Det(A) $\neq$ 0, então os três pontos não são colineares.

Se Det(A) = 0, então os três pontos são colineares.

Por critério de resolução, adianto que Det(A) $\neq$ 0.

Agora, podemos criar dois vetores, partindo do mesmo ponto.

PA = A-P = (0,-3,0)-(4,0,3) = (-4,-3,-3)

PB = B-P = (0,-3,1)-(4,0,3) = (-4,-3,-2)

Esses dois vetores PA e PB, pertencem ao plano e compartilham do mesmo ponto P. Logo, o produto vetorial deles, resultará no vetor normal do plano. Pra calcular a equação do plano, só precisamos de um vetor normal do plano e um ponto qualquer do plano. Isso nós temos:

Ponto => P = (4,0,3)

Vetor Normal => PA x PB = (-4,-3,-3)x(-4,-3,-2) = Det($\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\-4&-3&-3\\-4&-3&-2\end{array}\right]$) = 6i+12j+12k-12k-9i-8j = -3i+4j+0k = (-3,4,0)

Substituindo na Equação do Plano:

P = (4,0,3) ; Vn = (-3,4,0) => π: aXo+bXo+cXo+d = 0

Cálculo:

ax+by+cz+d = 0

-3.(4)+4.0+0.3+d = 0

-12+d = 0

d = 12

Logo:

-3x+4y+0z+12 = 0

π: -3x+4y+12 = 0  (Equação do Plano)

Calculando a distância do plano π ao ponto Q = (-1,-1,1)

D(π, Q) = $\frac{|ax+by+cz+d|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2} } }$= $\frac{|-3.(-1)+4.(-1)+0.1+12|}{\sqrt{(-3)^{2}+4^{2}+0^{2}} }$

D(π, Q) =  $\frac{|3-4+12|}{\sqrt{9+16} }$ = $\frac{11}{\sqrt{25} }$ = $\frac{11}{5}$ = 2,2

Logo, a distância do plano ao ponto Q é 2,2